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初中数学苏科版七年级下册
7.4
认识三角形
同步训练
一、单选题(本大题共10题,每题3分,共30分)
1.下列哪些线段能组成三角形(?????
)
①3cm、3cm、5cm?
②3cm、3cm、3cm
③2cm、2cm、4cm?
④3cm、5cm、9cm
A.?①②?????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????C.?①②③?????????????????????????????????D.?①②③④
2.能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是(???
)
A.?三角形的高线?????????????????B.?边的中垂线?????????????????C.?三角形的中线?????????????????D.?三角形的角平分线
3.在下列各图的△ABC中,正确画出AC边上的高的图形是(???
)
A.?????????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????????D.?
4.下列说法错误的是(??
)
A.?任意三角形都有三条高线、中线、角平分线
B.?钝角三角形有两条高线在三角形的外部
C.?直角三角形只有一条高线
D.?锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
5.如图,AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,垂足分别是D、C、F,下列说法中,不正确的是( )
A.?△ABC中,AD是边BC上的高???????????????????????????????B.?△ABC中,GC是边BC上的高
C.?△GBC中,GC是边BC上的高????????????????????????????????D.?△GBC中,CF是边BG上的高
6.如图,D是△ABC的边BC上任意一点,E、F分别是线段AD.CE的中点,且△ABC的面积为20cm2
,
则△BEF的面积是(??????
)
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?5
7.如图,点
在直线
上移动,
是直线
上的两个定点,且直线
.对于下列各值:①点
到直线
的距离;②
的周长;③
的面积;④
的大小.其中不会随点
的移动而变化的是(?
)
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?③④
8.a,b,c为△ABC的三边,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|,结果是(?
?)
A.?0????????????????????????????????????B.?2a+2b+2c????????????????????????????????????C.?4a????????????????????????????????????D.?2b2c
9.如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,点F为BC的中点,若∠BAC=104°,∠C=40°,则有下列结论:①∠BAE=52°;②∠DAE=2°;③EF=ED;④S△ABF=
S△ABC.其中正确的个数有(?
)
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
10.设△ABC的面积为1,如图①将边BC、AC分别2等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②将边BC、AC分别3等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;……,
依此类推,则S5的值为(???
)
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题(本大题共8题,每题2分,共16分)
11.在门框钉一根木条能固定住门框,不易变形,这里利用的数学原理是________.
12.从长为3
cm,5cm,7cm,10cm的四根木棒中选出三根组成三角形,共有________种选法.
13.若H是△ABC三条高AD、BE、CF的交点,则△HBC中BC边上的高是________,△BHA中BH边上的高是________.
14.如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线,若AB=8cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,则AC=________cm.
15.如图,
AD//BC,
BD、AC
相交于点
O,
△AOB
的面积为
2,?
△BOC
的面积为
4,则△DOC
的面积等于________.
16.△ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分,则此三角形的腰长是________.
17.如图,△ABC的面积为49cm2
,
AE=ED,BD=3DC,则图中△AEF的面积等于________.
18.如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是各边中点,O是形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4、5、7,四边形DHOG面积为________.
三、解答题(本大题共8题,共84分)
19.如图,△ABC,按要求完成下列各题:
①画△ABC的中线CD;
②画△ABC的角平分线AE;
③画△ABC的高BF;
④画出把△ABC沿射线BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1
.
20.如图,在△ABC中,点D、E分别为BC、AD的中点,若S△ABC=1,求S△ABE
.
21.如图,已知△ABC的高AD,角平分线AE,∠B=26°,∠ACD=56°,求∠AED的度数。
22.在锐角三角形ABC中,AB>AC,AM为中线,P为△AMC内一点,证明:PB>PC(如图).
23.如图,AD是△ABC的BC边上的高,AE平分∠BAC,若∠B=42°,∠C=70°,求∠AEC和∠DAE的度数.
24.如图,AD、CE是△ABC的两条高,已知AD=10,CE=9,AB=12.
(1)求△ABC的面积;
(2)求BC的长.
25.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,过点E作EF垂直BC,垂足为点F.
(1)∠ABE=15?,∠BAD=55?,求∠BED的度数;
(2)若△ABC的面积为30,EF=5,求CD.
26.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC
(1)若∠B=70°,∠C=30°,求;
①∠BAE的度数.
②∠DAE的度数.
(2)探究:如果只知道∠B=∠C+40°,那么能求岀∠DAE的度数吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【考点】三角形三边关系
解:①3+3>5,能组成三角形;
②3+3>3,能组成三角形;
③2+2=4,不能组成三角形;
④3+5<9,不能组成三角形.
故能组成三角形的只有①②.
故答案为:A.
【分析】两条较小的边的和大于最大的边即可构成三角形.
2.【答案】
C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:三角形的中线平分三角形的面积,
故答案为:C.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可直接得到答案.
3.【答案】
C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点,因此只有C符合条件,
故答案为:C.
【分析】根据三角形的高的概念判断.
4.【答案】C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:A、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线,正确;
B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部,正确;
C、∵直角三角形有三条高线,
∴直角三角形只有一条高线,错误;
D、锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点,正确.
故选C.
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义,逐一分析四个选项的正误,由此可得出结论.
5.【答案】
B
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:A、AD经过△ABC的一个顶点,且AD垂直于BC边所在的直线,所以△ABC中AD是边BC上的高,故此选项不符合题意;
B、GC没有经过BC所对的顶点A,所以△ABC中,GC不是BC边上的高,故此选项符合题意;
C、GC经过△GBC的一个顶点,且GC垂直于BC,所以△GBC中GC是边BC上的高,故此选项不符合题意;
D、CF经过△GBC的一个顶点,且CF垂直于BG,所以△GBC中CF是边BG上的高,故此选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高,据此逐一判断即可.
6.【答案】
D
【考点】三角形的角平分线、中线和高,三角形的面积
解:∵点E是AD的中点,
∴S△ABE=
S△ABD
,
S△ACE=
S△ADC
,
∴S△ABE+S△ACE=
S△ABC=
×20=10cm2
,
∴S△BCE=
S△ABC=
×20=10cm2
,
∵点F是CE的中点,
∴S△BEF=
S△BCE=
×10=5cm2
.
故答案为:D.
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可.
7.【答案】
B
【考点】点到直线的距离,平行线之间的距离,三角形的面积
解:∵直线
,
∴①点
到直线
的距离不会随点
的移动而变化;
∵PA、PB的长随点P的移动而变化,
∴②△PAB的周长会随点
的移动而变化,④∠APB的大小会随点
的移动而变化;
∵点
到直线
的距离不变,AB的长度不变,
∴③△PAB的面积不会随点
的移动而变化;
综上,不会随点
的移动而变化的是①③.
故答案为:B.
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①;根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④;根据同底等高的三角形的面积相等可判断③;进而可得答案.
8.【答案】
A
【考点】绝对值及有理数的绝对值,三角形三边关系
解:|a+b+c|?|a?b?c|?|a?b+c|?|a+b?c|,=a+b+c+a?b?c?a+b?c?a?b+c=0.
故答案为:A.
【分析】利用三角形三边关系定理,可知a+b+c>0,a?b?c<0,a?b+c>0,a+b?c>0,再化简绝对值,然后合并同类项可得出结果。
9.【答案】
C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:∵AE是△ABC的角平分线,∠BAC=104°,
∴∠BAE=∠CAE=
=52°;
①正确;
∵AD⊥BC,∠C=40°,
∴∠CAD=90°-40°=50°;
∴∠DAE=∠CAE
-∠CAD
=2°;
②正确;
∵F为BC的中点,
∴S△ABF=
S△ABC.???
④正确.
根据已知条件不能够判定③正确.
综上,正确的结论为①②④,共3个,
故答案为:C.
【分析】根据角平分线的定义可判定①,根据角平分线的定义及垂直的定义求得∠CAE=52°,∠CAD=50°,再由∠DAE=∠CAE
-∠CAD即可判定②;根据三角形中线的性质即可判定④;③根据已知条件判定不出,由此即可解答.
10.【答案】
D
【考点】三角形的角平分线、中线和高,三角形的面积
解:如图①,连接OC,
由
、
分别将边BC、AC2等份,
,所以
,即
,根据等底同高的两个三角形的面积相等可得
所以
,即可求得
,所以
;
如图②,连接OC,
OD1
,
OE2,
由图(1)的方法可得
,
所以
,
同样的方法可求得
,以此类推可得
.故答案为:D.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等,找出面积相等的三角形,由中线定义求出5等分点的面积值.
二、填空题
11.【答案】
三角形的稳定性
【考点】三角形的稳定性
解:在刚做好的门框架上,为了避免门框变形,在框架上斜钉一根木条,
故这种做法根据的是三角形的稳定性.
故答案为:三角形的稳定性.
【分析】用木条固定矩形门框,即是组成三角形,故可用三角形的稳定性解释.
12.【答案】
2
【考点】三角形三边关系
解:三角形的三边关系定理:任意两边之和大于第三边
则有以下两种选法:
(
1
)选
三根木棒,
,满足三角形的三边关系定理
(
2
)选
三根木棒,
,满足三角形的三边关系定理
故答案为:2.
【分析】根据三角形的三边关系定理即可得.
13.【答案】
HD;AE
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:
△HBC中BC边上的高是HD,△BHA中BH边上的高是AE
【分析】根据三角形高的定义可得.三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线,顶点和垂足间的线段叫三角形的高.
14.【答案】
10
【考点】三角形的角平分线、中线和高
解:
∵AE是△ABC的边BC上的中线,
∴CE=BE,
又∵AE=AE,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,
∴AC﹣AB=2cm,
即AC﹣8=2cm,
∴AC=10cm,
故答案为:10
【分析】根据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE,再由
△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,
可得AC-AB=2cm,从而求出AC的长.
15.【答案】
2
【考点】三角形的面积
解:∵AD∥BC,
∴点A、点D到直线BC的距离相等,
∴S△ABC
=S△DBC
,
∴S△ABC
-S△BOC
=
S△DBC
-S△BOC
,
∴S△AOB
=S△DOC
=2,
故答案为:2.
【分析】由于AD∥BC,则点A、点D到直线BC的距离相等,利用三角形面积公式得到S△ABC=S△DBC
,
两三角形的面积都减去△BOC的面积,即可求解.
16.【答案】8cm或6cm
【考点】三角形三边关系
解:根据题意画出图形,如图,
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x,BC=y,
∵BD是腰上的中线,
∴AD=DC=x,
若AB+AD的长为12,则2x+x=12,解得x=4cm,
则x+y=9,即4+y=9,解得y=5cm;
若AB+AD的长为9,则2x+x=9,解得x=3cm,
则x+y=12,即3+y=12,解得y=9cm;
所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm.
故答案为:8cm或6cm.
【分析】由于本题没有说明把三角形分成两部分后哪部分长为9cm或12cm,所以需分情况说明,当AB+=9时,AB=6cm,因为三角形的周长为21cm,所以底边长为9cm,6+6>9,所以成立.
当时,AB=8cm,底边长为5cm,因为8+8>5,所以成立.
17.【答案】
【考点】三角形的面积
解:如图:
∵BD=3DC,△ABC的面积为49cm2
,
∴S△ABD=S△ABC=cm2
,
S△ADC=S△ABC=cm2,
∵AE=ED,
∴S△BED=S△ABD=cm2
,
S△AEF=S△EFD
,
∴S△BDF=S△BED+S△AEF=+S△AEF
,
∵BD=3DC,
∴S△FDC=S△BDF=+S△AEF
,
∵S△ADC=S△AEF+S△EFD+S△FDC
,
∴=2S△AEF++S△AEF
,
∴S△AEF=cm2.
故答案为:
.
【分析】连接DF,根据AE=ED,BD=3DC,及同高三角形的面积的关系得出S△AEF=S△EFD
,
S△ABE=S△BED
,
S△BDF=3S△FDC
,
S△ABD=3S△ADC
,
根据△ABC的面积等于49cm2即可得出S△ABD=S△ABC=cm2
,
S△ADC=S△ABC=cm2,S△BED=S△ABD=cm2
,
S△BDF=S△BED+S△AEF=+S△AEF
,
S△FDC=S△BDF=+S△AEF
,
最后根据S△ADC=S△AEF+S△EFD+S△FDC
,
建立方程,求解即可.
18.【答案】
6
【考点】三角形的面积
解:连接OC,OB,OA,OD,
∵E、F、G、H依次是各边中点,
∴△AOE和△BOE等底等高,
∴S△OAE=S△OBE
,
同理可证,S△OBF=S△OCF
,
S△ODG=S△OCG
,
S△ODH=S△OAH
,
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE
,
∵S四边形AEOH=4,S四边形BFOE=5,S四边形CGOF=7,
∴4+7=5+S四边形DHOG
,
解得,S四边形DHOG=6.
故答案为:6.
【分析】连接OC,OB,OA,OD,易证S△OBF=S△OCF
,
S△ODG=S△OCG
,
S△ODH=S△OAH
,
S△OAE=S△OBE
,
所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE
,
所以可以求出S四边形DHOG.
三、解答题
19.【答案】
解:如图所示:
.
【考点】三角形的角平分线、中线和高,作图﹣平移
分析:①首先确定AB中点,再连接CD即可;②利用量角器∠A的度数,在算出平分时的角度,以A为端点画射线,与BC的交点记作E;③延长CA,利用直角三角板,一条直角边与AC重合,沿AC平移,是另一直角边过B,再以B为端点沿直角边画射线交CA得延长线于F;④在BF上截取BB1=3cm,再过A、C画BF的平行线,使AA1=CC1=BB1=3cm,然后再连接A1、B1、C1即可.
20.【答案】
解:∵点D、E分别是BC、AD边的中点,
∴S△ABD=
S△ABC
,
S△ABE=
S△ABD
,
∴S△ABE=
S△ABC
,
∵S△ABC=1,
∴S△ABE=1×
=
.
【考点】三角形的角平分线、中线和高,三角形的面积
分析:根据三角形的中线平分三角形面积可得
S
△ABE
=?
?S
△ABC
,代入求解得出答案.
21.【答案】解:∵∠B=26°,∠ACD=56°∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°
【考点】三角形的角平分线、中线和高
分析:利用三角形内角和定理和平分线定义,运用外角定理即可求出答案.
22.【答案】
证明:在△AMB与△AMC中,AM是公共边,BM=MC,且AB>AC,
∴∠AMB>∠AMC,
∴∠AMC<90°.
过点P作PH⊥BC,垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上.
如果H在线段MC内部,则BH>BM=MC>HC.
所以PB>PC.
【考点】三角形的角平分线、中线和高,三角形三边关系
分析:在△AMB和△AMC中,由AM是中线,可得出AB>AC,根据再两边对应相等的两个三角形中,第三边大的对应的角也大,可证得∠AMC<90°,
再过点P作PH⊥BC,垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上,就可得出
BH>BM=MC>HC,继而可证得结论。
23.【答案】解:∵∠B=42°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°,
∵AE是角平分线,
∴∠EAC=
∠BAC=34°.
∵AD是高,∠C=70°,
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°,
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣20°=14°,
∠AEC=90°﹣14°=76°.
【考点】三角形的角平分线、中线和高
分析:由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数,在Rt△ADC中,可求得∠DAC的度数,AE是角平分线,有∠EAC=
∠BAC,故∠EAD=∠EAC﹣∠DAC.
24.【答案】
(1)解:∵CE=9,AB=12,
∴△ABC的面积=
×12×9=54;
(2)解:△ABC的面积=
BC?AD=54,
即
BC?10=54,
解得BC=
.
【考点】三角形的面积
分析:(1)根据三角形的面积公式计算即可得解;
(2)根据△ABC的面积列式计算即可得解.
25.【答案】
(1)解:如图,∠BED是△ABE的一个外角,
∵∠ABE=15°,∠BAD=55°,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=15°+55°
=70°;
(2)解:∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=
S△ABC
,
又∵S△ABC=30,
∴S△ABD=
×30=15,
又∵BE为△ABD的中线,
∴S△BDE=
S△ABD
,
∴S△BDE=
×15=
,
∵EF⊥BC,且EF=5
∴S△BDE?=
?BD?EF,
∴
?BD×5=
,
∴BD=3,
∴CD=BD=3.
【考点】三角形的角平分线、中线和高,三角形的面积,三角形的外角性质
分析:(1)根据三角形内角与外角的性质解答即可;(2)根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=
,根据三角形面积公式求得CD=BD=3.
26.【答案】
(1)解:①∵∠B=70°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=40°;
②∵AD⊥BC,∠B=70°,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°,
而∠BAE=40°,
∴∠DAE=20°
(2)解:∵AE为角平分线,
∴∠BAE=
(180°-∠B-∠C),
∵∠BAD=90°-∠B,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=
(180°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=
(∠B-∠C),
又∵∠B=∠C+40°,
∴∠B-∠C=40°,
∴∠DAE=20°.
【考点】三角形的角平分线、中线和高,三角形内角和定理
分析:(1)①利用三角形的内角和定理求出∠BAC,再利用角平分线定义求∠BAE.②先求出∠BAD,就可知道∠DAE的度数.(2)用∠B,∠C表示∠DAE,即可求岀∠DAE的度数.
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