勾股定理(典型例题加练习)
文档属性
| 名称 | 勾股定理(典型例题加练习) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 37.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-01 16:13:52 | ||
图片预览
文档简介
勾股定理
第一课时
课时达标·以练助学
1.在△ABC中，∠C=90°,①a=5,b=12,则c= ,
②若c=10,a∶b=3∶4,则a= ,b= .
2.直角三角形两条直角边长度分别为3和4，则作边上的高为 。
3.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把△ABC沿CE折叠，点A和B恰好重合，如果AC=4cm，那么AB= .
4.在Rt△ABC中，斜边AB=2,则 .
5.如图，正方形A的面积为16，正方形B的面积为9，那么正方形C的面积是 。
6.以面积为9m2的正方形的对角线为边作一正方形，则正方形的面积为（ ）
A. 9m2 B. 13m2 C. 18m2 D. 24m2
7．一个三角形三个内角之比为1∶2∶1，则其相对的三边之比分别为（ )
A.1∶2∶1 B.1∶∶1 C. 1∶4∶1 D.2∶1∶2
8.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.12
9.如图，在一河AB的同侧有两个集镇C、D，现要在河边修一座水厂，向两镇供水，要求使EC=ED,已知D、C到岸AB的距离AD=15km,BC=10km,且AB=25km,求E离A多远。
名师讲坛·点晴导航
知识要点
勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方，即.
典例精析
例题:
已知,如图,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,C=1.求BC和AD的长。
解析：延长BC,AD交于E.
∵∠B=90°,
∴∠E+∠A=90°
∵∠E=60°,∴∠A=30°,
∴AE=2AB
∵AB=2,∴AE=4
同理CE=2CD=2
在Rt△ABE中，
BE2=AE2-AB2=16-4=12
∴BE=
在Rt△CDE中，
DE2=CE2-CD2=4-1=3,
∴DE=
∴BC=BE-CE=-2
AD=AE-DE=4-
点评：本题由特殊角可以想到构造直角三角形，由勾股定理求出各边的长度。
第二课时
名师讲坛·点晴导航
知识要点
①勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c有以下关系：
那么这个三角形是直角三角形。
②判定一个三角形为直角三角形的方法：
（ⅰ)证明三角形中有一个角有直角。
（ⅱ)一个三角形中有两条边互相垂直。
（ⅲ)勾股定理的逆定理。
典例精析
例题：已知如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上的任意一点，那么BD2+CD2=2AD2吗？为什么？
解析,过A作AE⊥BC于E,
则在Rt△ADE中，有
AD2=DE2+AE2
又AB=AC,∠BAC=90°
所以AE=BE=CE
又BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2=BE2+CE2+2DE2=
2AE2+2DE2=2AD2
即BD2+CD2=2AD2
点评：本题要证明的结论很特殊，象这种线段平方和的形式，在直角三角形中，运用勾股定理很易得到。从而很易相到构造直角三形。
课时达标·以练助学
1.△ABC中，若a∶b∶c=1∶∶2,则∠A∶∠B∶∠C
= .
2.在△ABC中，若AB=,AC=,BC=2,则∠B= 。
3.一个三角形三边的比是5∶12∶13，且周长为60cm,则它的面积为 。
4.等边三角形的边长为a,则这个三角形的高为 。
5.若直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为
。
6.在△ABC中，三条边a,b,c若满足,则下列说法正确的是（ )
A.△ABC不是直角三角形 B.∠A+∠B=90°
C.∠A+∠C=90° D.∠A=90°
7.把直角三角形两条直角边同时扩大为原来的2倍，则其斜边扩大为原来的（ )
A.2倍 B.4倍 C. 倍 D.不能确定
8.用下列各组正数作为三角形三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A.a-1,2a,2a+1 B.a-1,,a+1
C.a-1,,a+1 D. a-1,,a+1
9.在四边形ABCD中，∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12.
①AD⊥BD吗？为什么？
②求四边形ABCD的面积。
第三课时
课时达标·以练助学
1.要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要 米长的梯子。
2.一艘轮船以16km/h速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距 。
3.一个人绕矩形操场两邻边走，而取捷径沿对角线走，省去了矩形长边的距离，则矩形短边与长边的比为 。
二、选择题
4.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°,在教室地面的影长MN=米。若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面距离AC为（ ）
A.米 B.3米 C.3.2米 D.米
5.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b，那么（a+b)2的值为（ )
A.13 B.19 C.25 D.169
三、解答题
6.如图，某学校的教室A点东240米的O点处有一货场，经过O点沿北偏西60°方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响的范围在130米内。（1）通过计算说明这条公路上车辆的噪音必然会对学校造成影响;（2）为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修一条消音墙，请你计算消音墙的长度（只考虑声音的直线传播）。
名师讲坛·点晴导航
知识要点
运用勾股定理和勾股定理的逆定理解生活中的实际问题。
①勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，其作用：已知两边求第三边;证明三角形中某些线段的平方关系;作长为的线段。
②勾股定理的逆定理常用来判断一个三角形是否为直角三角形。
典例精析
例题：有一个小孩站在距他1米且比他高50厘米的向日葵旁边，当风吹倒向日葵时，向日葵的顶处正好可以碰到他的头顶，那么你能计算出向日葵和小孩的高度吗？
解析，如图，
AB表示小孩，
CD表示向日葵。
依题意有：BD=1,
过A作AE⊥CD
于E,则CE=50cm=0.5m,
在Rt△ADB中，DB=1m,
AB=x m,AD=CE=(x+0.5)m,
由勾股定理得：AD2=DB2+AB2
即（x+0.5)2=12+x2
解得x=0.75
所以小孩高0.75米，向日葵高1.25米。
点评：本题主要考查直角三角形的应用，运用勾股定理找到等量关系。
答案及点拨
【第一课时】
1．12，6，8，2.2.4，3.8，4.8，5.25, 6.C,7.B8.C 9.10km
【第二课时】
1.1∶2∶3，2.45°，3.120cm2,4.，5.10或， 6.C,7.A,8.B, 9.①略，②36
【第三课时】
1．13，2.30km,3.3∶4, 4.B,5.C. 6.①略，②100米
一节一测·自主反馈
一、达标训练
1.等腰直角三角形直角边长为1，则斜边长为 .
2.等边三角形边长为2，则面积为 .
3.周长为30，面积也为30的直角三角形斜边中线长为 .
4.两直角边之和为14，斜边长为12的直角三角形斜边上的高是 .
5.三角形三边比为1∶∶2,则三内角比为 .
6.等边△ABC内一点P与三顶点距离为PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC= .
7.D为△ABC边AB上一点，BC=AC=AD. ∠ACD=∠ACB，则AB∶AC= .
8.D为△ABC边BC上一点，AB=20，AC=13，AD=12，DC=5，则S△ABC= .
9.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为 .
10.△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°，M为AB中点，MD⊥AB交AC于D.若DM=7，则BC长为( )
A.7 B.14 C.7 D.14
11.直角三角形锐角平分线分对边为15和25两部分，则斜边长为( )
A.50 B.60 C.70 D.80
12.三角形内角比为1∶2∶3，，则三边长度比为( )
A.1∶2∶3 B. 1∶∶2
C.1∶∶ D.1∶∶3
13.直角三角形斜边上的高分斜边为1∶2两部分，则三条高的比为( )
A.1∶∶2 B.∶∶
C.1∶∶ D.∶∶2
14.顶角为150°的等腰三角形，腰上的高与腰的比为( )
A.1∶2 B.1∶
C.∶2 D.1∶3
15.下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有( )
①5,12,13 ②7,24,25 ③8,15,16
④32,42,52 ⑤+1,-1,
⑥+1,-1,2.
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
16.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，则( )
A.a边的对角是直角
B.b边的对角是直角
C.c边的对角是直角
D.是斜三角形
17.等腰三角形ABC底边上的高AD=BC，AB=，则△ABC面积为( )
A. B.1 C.2 D.4
18.CD为△ABC的高且∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,AB=m,则CD等于( )
A. B.m C. D.m
19. Rt△ABC中，∠C=Rt∠,CD⊥AB于D，M为AB中点，MD=CD，求∠B.
20 △ABC中，AC+BC=4，AC·BC=1，AB=，CD⊥AB于D.AB中点为E，求DE。
21. 四边形ABCD中，AB=7，BC=24，CD=20，对角线AC=25，E为AC的中点且EB=ED.求边AD及四边形ABCD面积.
22有一块四边形地ABCD(如图3.17-7),
∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积？
图3.17-7
二、中考链接
23.（2006沈阳）CD为Rt△ABC斜边上的高，AB=13，AC=12，则CD= .
24.（2006成都）周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
三、思维拓展
25. (如图3.16-8)某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？
图3.16-8
A
D
B
E
C
第9题图
第5题图
C
B
A
A
B
D
E
C
E
D
A
B
C
C
A
D
B
N
M
A
B
C
第4题图
第5题图
A
O
N
M
60°°°°°°°°°°°°
A
C
E
D
B
第一课时
课时达标·以练助学
1.在△ABC中，∠C=90°,①a=5,b=12,则c= ,
②若c=10,a∶b=3∶4,则a= ,b= .
2.直角三角形两条直角边长度分别为3和4，则作边上的高为 。
3.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把△ABC沿CE折叠，点A和B恰好重合，如果AC=4cm，那么AB= .
4.在Rt△ABC中，斜边AB=2,则 .
5.如图，正方形A的面积为16，正方形B的面积为9，那么正方形C的面积是 。
6.以面积为9m2的正方形的对角线为边作一正方形，则正方形的面积为（ ）
A. 9m2 B. 13m2 C. 18m2 D. 24m2
7．一个三角形三个内角之比为1∶2∶1，则其相对的三边之比分别为（ )
A.1∶2∶1 B.1∶∶1 C. 1∶4∶1 D.2∶1∶2
8.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.12
9.如图，在一河AB的同侧有两个集镇C、D，现要在河边修一座水厂，向两镇供水，要求使EC=ED,已知D、C到岸AB的距离AD=15km,BC=10km,且AB=25km,求E离A多远。
名师讲坛·点晴导航
知识要点
勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方，即.
典例精析
例题:
已知,如图,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,C=1.求BC和AD的长。
解析：延长BC,AD交于E.
∵∠B=90°,
∴∠E+∠A=90°
∵∠E=60°,∴∠A=30°,
∴AE=2AB
∵AB=2,∴AE=4
同理CE=2CD=2
在Rt△ABE中，
BE2=AE2-AB2=16-4=12
∴BE=
在Rt△CDE中，
DE2=CE2-CD2=4-1=3,
∴DE=
∴BC=BE-CE=-2
AD=AE-DE=4-
点评：本题由特殊角可以想到构造直角三角形，由勾股定理求出各边的长度。
第二课时
名师讲坛·点晴导航
知识要点
①勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c有以下关系：
那么这个三角形是直角三角形。
②判定一个三角形为直角三角形的方法：
（ⅰ)证明三角形中有一个角有直角。
（ⅱ)一个三角形中有两条边互相垂直。
（ⅲ)勾股定理的逆定理。
典例精析
例题：已知如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上的任意一点，那么BD2+CD2=2AD2吗？为什么？
解析,过A作AE⊥BC于E,
则在Rt△ADE中，有
AD2=DE2+AE2
又AB=AC,∠BAC=90°
所以AE=BE=CE
又BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2=BE2+CE2+2DE2=
2AE2+2DE2=2AD2
即BD2+CD2=2AD2
点评：本题要证明的结论很特殊，象这种线段平方和的形式，在直角三角形中，运用勾股定理很易得到。从而很易相到构造直角三形。
课时达标·以练助学
1.△ABC中，若a∶b∶c=1∶∶2,则∠A∶∠B∶∠C
= .
2.在△ABC中，若AB=,AC=,BC=2,则∠B= 。
3.一个三角形三边的比是5∶12∶13，且周长为60cm,则它的面积为 。
4.等边三角形的边长为a,则这个三角形的高为 。
5.若直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为
。
6.在△ABC中，三条边a,b,c若满足,则下列说法正确的是（ )
A.△ABC不是直角三角形 B.∠A+∠B=90°
C.∠A+∠C=90° D.∠A=90°
7.把直角三角形两条直角边同时扩大为原来的2倍，则其斜边扩大为原来的（ )
A.2倍 B.4倍 C. 倍 D.不能确定
8.用下列各组正数作为三角形三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A.a-1,2a,2a+1 B.a-1,,a+1
C.a-1,,a+1 D. a-1,,a+1
9.在四边形ABCD中，∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12.
①AD⊥BD吗？为什么？
②求四边形ABCD的面积。
第三课时
课时达标·以练助学
1.要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要 米长的梯子。
2.一艘轮船以16km/h速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距 。
3.一个人绕矩形操场两邻边走，而取捷径沿对角线走，省去了矩形长边的距离，则矩形短边与长边的比为 。
二、选择题
4.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°,在教室地面的影长MN=米。若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面距离AC为（ ）
A.米 B.3米 C.3.2米 D.米
5.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b，那么（a+b)2的值为（ )
A.13 B.19 C.25 D.169
三、解答题
6.如图，某学校的教室A点东240米的O点处有一货场，经过O点沿北偏西60°方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响的范围在130米内。（1）通过计算说明这条公路上车辆的噪音必然会对学校造成影响;（2）为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修一条消音墙，请你计算消音墙的长度（只考虑声音的直线传播）。
名师讲坛·点晴导航
知识要点
运用勾股定理和勾股定理的逆定理解生活中的实际问题。
①勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，其作用：已知两边求第三边;证明三角形中某些线段的平方关系;作长为的线段。
②勾股定理的逆定理常用来判断一个三角形是否为直角三角形。
典例精析
例题：有一个小孩站在距他1米且比他高50厘米的向日葵旁边，当风吹倒向日葵时，向日葵的顶处正好可以碰到他的头顶，那么你能计算出向日葵和小孩的高度吗？
解析，如图，
AB表示小孩，
CD表示向日葵。
依题意有：BD=1,
过A作AE⊥CD
于E,则CE=50cm=0.5m,
在Rt△ADB中，DB=1m,
AB=x m,AD=CE=(x+0.5)m,
由勾股定理得：AD2=DB2+AB2
即（x+0.5)2=12+x2
解得x=0.75
所以小孩高0.75米，向日葵高1.25米。
点评：本题主要考查直角三角形的应用，运用勾股定理找到等量关系。
答案及点拨
【第一课时】
1．12，6，8，2.2.4，3.8，4.8，5.25, 6.C,7.B8.C 9.10km
【第二课时】
1.1∶2∶3，2.45°，3.120cm2,4.，5.10或， 6.C,7.A,8.B, 9.①略，②36
【第三课时】
1．13，2.30km,3.3∶4, 4.B,5.C. 6.①略，②100米
一节一测·自主反馈
一、达标训练
1.等腰直角三角形直角边长为1，则斜边长为 .
2.等边三角形边长为2，则面积为 .
3.周长为30，面积也为30的直角三角形斜边中线长为 .
4.两直角边之和为14，斜边长为12的直角三角形斜边上的高是 .
5.三角形三边比为1∶∶2,则三内角比为 .
6.等边△ABC内一点P与三顶点距离为PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC= .
7.D为△ABC边AB上一点，BC=AC=AD. ∠ACD=∠ACB，则AB∶AC= .
8.D为△ABC边BC上一点，AB=20，AC=13，AD=12，DC=5，则S△ABC= .
9.边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为 .
10.△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°，M为AB中点，MD⊥AB交AC于D.若DM=7，则BC长为( )
A.7 B.14 C.7 D.14
11.直角三角形锐角平分线分对边为15和25两部分，则斜边长为( )
A.50 B.60 C.70 D.80
12.三角形内角比为1∶2∶3，，则三边长度比为( )
A.1∶2∶3 B. 1∶∶2
C.1∶∶ D.1∶∶3
13.直角三角形斜边上的高分斜边为1∶2两部分，则三条高的比为( )
A.1∶∶2 B.∶∶
C.1∶∶ D.∶∶2
14.顶角为150°的等腰三角形，腰上的高与腰的比为( )
A.1∶2 B.1∶
C.∶2 D.1∶3
15.下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有( )
①5,12,13 ②7,24,25 ③8,15,16
④32,42,52 ⑤+1,-1,
⑥+1,-1,2.
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
16.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，则( )
A.a边的对角是直角
B.b边的对角是直角
C.c边的对角是直角
D.是斜三角形
17.等腰三角形ABC底边上的高AD=BC，AB=，则△ABC面积为( )
A. B.1 C.2 D.4
18.CD为△ABC的高且∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,AB=m,则CD等于( )
A. B.m C. D.m
19. Rt△ABC中，∠C=Rt∠,CD⊥AB于D，M为AB中点，MD=CD，求∠B.
20 △ABC中，AC+BC=4，AC·BC=1，AB=，CD⊥AB于D.AB中点为E，求DE。
21. 四边形ABCD中，AB=7，BC=24，CD=20，对角线AC=25，E为AC的中点且EB=ED.求边AD及四边形ABCD面积.
22有一块四边形地ABCD(如图3.17-7),
∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积？
图3.17-7
二、中考链接
23.（2006沈阳）CD为Rt△ABC斜边上的高，AB=13，AC=12，则CD= .
24.（2006成都）周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
三、思维拓展
25. (如图3.16-8)某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？
图3.16-8
A
D
B
E
C
第9题图
第5题图
C
B
A
A
B
D
E
C
E
D
A
B
C
C
A
D
B
N
M
A
B
C
第4题图
第5题图
A
O
N
M
60°°°°°°°°°°°°
A
C
E
D
B