第二讲 函数及其表示
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文档简介
第二讲 函数及其表示
【知识点】
（1）函数的概念
①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①是整式时，定义域是全体实数．
②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．
②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
【课堂练习】
1．求下列函数的定义域： （1）；（2）.
2．求下列函数的定义域与值域：（1）； （2）.
3．已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式
4．已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.
5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
A. B.
C. D.
6．函数的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
7．集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ）.
8．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
9．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
10．已知＝＋x＋1，则＝______；f［］＝______．
11．已知，则= .
12．（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域与值域.
13．已知，，且，试求的表达式.
【课外练习】
一、选择题
1、已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2、函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5、函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6、下列函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7、函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8、函数，满足，且对任意，均有则有（ ）
B． C． D．
二、填空题
9、函数的值域是_______________________。
10、函数的值域是______________________。
11、若为一个正的常数，且，则的值为_______。
12、已知函数，则______________。
三、解答题
13、已知的值。
14、求函数的值域。
15、已知函数，且方程有两个实数根，求函数的解析式。
16、对任何实数，函数满足：，试求
的值。
x
y
0
-2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
A. B. C . D.
A.
B.
C.
D.
【知识点】
（1）函数的概念
①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①是整式时，定义域是全体实数．
②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．
②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
【课堂练习】
1．求下列函数的定义域： （1）；（2）.
2．求下列函数的定义域与值域：（1）； （2）.
3．已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式
4．已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.
5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
A. B.
C. D.
6．函数的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
7．集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ）.
8．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
9．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
10．已知＝＋x＋1，则＝______；f［］＝______．
11．已知，则= .
12．（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域与值域.
13．已知，，且，试求的表达式.
【课外练习】
一、选择题
1、已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2、函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5、函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6、下列函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7、函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8、函数，满足，且对任意，均有则有（ ）
B． C． D．
二、填空题
9、函数的值域是_______________________。
10、函数的值域是______________________。
11、若为一个正的常数，且，则的值为_______。
12、已知函数，则______________。
三、解答题
13、已知的值。
14、求函数的值域。
15、已知函数，且方程有两个实数根，求函数的解析式。
16、对任何实数，函数满足：，试求
的值。
x
y
0
-2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
A. B. C . D.
A.
B.
C.
D.