第二讲 函数及其表示
【知识点】
（1）函数的概念
①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①是整式时，定义域是全体实数．
②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．
②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
【课堂练习】
1．求下列函数的定义域： （1）；（2）.
2．求下列函数的定义域与值域：（1）； （2）.
3．已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式
4．已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.
5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
A. B.
C. D.
6．函数的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
7．集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ ）.
8．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
9．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
10．已知＝＋x＋1，则＝______；f［］＝______．
11．已知，则= .
12．（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域与值域.
13．已知，，且，试求的表达式.
【课外练习】
一、选择题
1、已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2、函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5、函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6、下列函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7、函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8、函数，满足，且对任意，均有则有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9、函数的值域是_______________________。
10、函数的值域是______________________。
11、若为一个正的常数，且，则的值为_______。
12、已知函数，则______________。
三、解答题
13、已知的值。
14、求函数的值域。
15、已知函数，且方程有两个实数根，求函数的解析式。
16、对任何实数，函数满足：，试求
的值。
x
y
0
-2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
A. B. C . D.
A.
B.
C.
D.
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1第三讲 函数的单调性
1.增函数与减函数的概念（重点）
一般地,设函数的定义域为:
增函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数(increasing function).如右图所示.
减函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数
2．单调性与单调区间（难点）
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
思考：函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗 “某个函数在区间D上单调”与“区间D是函数的单调区间”这两句话,你认为一样吗
典例1. 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.
3．单调性的判断与证明（难点）
用定义法判断或证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的方法步骤：
(1) 任取x1，x2∈D，且x1(2) 作差f(x1)－f(x2)；
(3)变形（通常是因式分解和配方）；
(4) 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
(5) 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
【梳理·总结】 判断函数的单调性常用的结论
（1）函数与的单调性相反；
（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；
（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；
（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；
（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；
（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；
（7）设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数.
典例2. 讨论函数的单调性.
4.复合函数的单调性
①关于复合函数的单调性.
如果函数在区间上定义,
若为增函数, 为增函数,则为增函数;
若为增函数, 为减函数,则为减函数;
若为减函数, 为减函数,则为增函数;
若为减函数, 为增函数,则为减函数.
②关于分段函数的单调性.
若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:
【梳理·总结】 从图象上看出函数的单调性
利用图像判断函数的单调性时，如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是上升的，那么就说函数在这一区间上是增函数，这个区间就是它的单调递增区间.如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是下降的，那么就说函数在这一区间上是减函数，这个区间就是它的单调递减区间.
典例3.已知若试确定的单调区间和单调性
5、.函数的最大值与最小值
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0) = M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0) = M.
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）.
【探究·发现】 判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值;
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值:
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
典例4.当时，求函数的最小值
典例5. 已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论.
【培优训练】
理解与应用
1. 在区间上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
2. 已知在区间上是增函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 函数在和都是增函数，若，且那么( )
A． B．
C． D．无法确定
4. (2008年维坊模拟)已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5、下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝3x2＋1
C．y＝2x D．y＝|x|
二、拓展与创新
6. 函数y=的递减区间是
7. 若函数在上为增函数,则实数的取值范围是 ( http: / / wxc. / )
二、填空题：
8．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0①f(x2)－f(x1)>x2－x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)；
③其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
9．已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
三、解答题：
10．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．
11．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
