用样本估计总体
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用样本估计总体
【知识点总结】
1.频率分布直方图
（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种， 一种是用 .另一种 是用 .
（2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据 落在各小组内的频率用 表示. 各小长方形的面积总和
（3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中 点，就得到频率分布折线图.随着 的增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中 称之为 ，它能够更加精细的反映出 .
（4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且可以 ，给数据的 和 都带来方便.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数.
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的 .
平均数：样本数据的算术平均数.即 = .
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 .
（2）样本方差、标准差
标准差s= 其中是 ，n是 ____________________， 是_______________ 是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样本方差很接近总体方差.
3、标准差、方差
１．标准差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
、算出样本数据的平均数。
、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
、算出（２）中的平方。
、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
２．方差
【例题精析】
【例1】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例3】（12分）甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩
作出评价.
【随堂练习】
一、选择题
1. 在频率分布直方图中，小矩形的高表示（ ）
A.频率/样本容量 B.组距×频率 C.频率 D.频率/组距
2. 在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.总体容量越大，估计越精确 B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确 D.样本容量越小，估计越精确
3. 一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表:
组距 ［10，20） ［20，30） ［30，40） ［40，50） ［50，60） ［60，70）
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在区间（－∞，50）上的频率为（ ）
A.0.5 B.0.25 C.0.6 D.0.7
4. 10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（ ）
A.频数 B.频率 C.频率/组距 D.累计频率
5. 已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是（ ）
A.［5.5，7.5） B.［7.5，9.5） C.［9.5，11.5） D.［11.5，13.5）
6. 在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的（ ）
A.平均状态 B.分布规律 C.波动大小 D.最大值和最小值
7. 频率分布直方图的重心是（ ）
A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数
8. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）
A.众数 B.平均数 C.标准差 D.极差
9. 与原数据单位不一样的是（ ）
A.众数 B.平均数 C.标准差 D.方差
10.下列数字特征一定是数据组中数据的是（ ）
A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数
11. 频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对的数字特征是（ ）
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.标准差
12. 甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为（ ）
①甲队的技术比乙队好 ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球 ④甲队的表现时好时坏
A.1 B.2 C.3 D.4
13．频率分布直方图的重心是（ ）．
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．标准差
14．下列说法错误的是（ ）．
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
15．数据的方差为，则数据的方差为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
16.一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n=________.
17. 从某校2100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间（单位:min）依次为:75，80，85，65，95，100，70，55，65，75， 85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80.该校的学生中作业时间超过一个半小时（含一个半小时）的学生有____________人.
18. 频率分布直方图中各小长方体的面积和为____________.
19. 数据－2，－1，0，1，2的方差是____________.
20. 五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a=____，这五个数的标准差是_________.
21. 已知一个样本方差为，则这个样本的容量是____________，平均数是____________.
三、解答题
22.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下:
寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
个 数 20 30 80 40 30
（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；
（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例；
（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.
23. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下表.
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.
【知识点总结】
1.频率分布直方图
（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种， 一种是用 .另一种 是用 .
（2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据 落在各小组内的频率用 表示. 各小长方形的面积总和
（3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中 点，就得到频率分布折线图.随着 的增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中 称之为 ，它能够更加精细的反映出 .
（4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且可以 ，给数据的 和 都带来方便.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数.
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的 .
平均数：样本数据的算术平均数.即 = .
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 .
（2）样本方差、标准差
标准差s= 其中是 ，n是 ____________________， 是_______________ 是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样本方差很接近总体方差.
3、标准差、方差
１．标准差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
、算出样本数据的平均数。
、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
、算出（２）中的平方。
、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
２．方差
【例题精析】
【例1】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例3】（12分）甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩
作出评价.
【随堂练习】
一、选择题
1. 在频率分布直方图中，小矩形的高表示（ ）
A.频率/样本容量 B.组距×频率 C.频率 D.频率/组距
2. 在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.总体容量越大，估计越精确 B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确 D.样本容量越小，估计越精确
3. 一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表:
组距 ［10，20） ［20，30） ［30，40） ［40，50） ［50，60） ［60，70）
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在区间（－∞，50）上的频率为（ ）
A.0.5 B.0.25 C.0.6 D.0.7
4. 10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（ ）
A.频数 B.频率 C.频率/组距 D.累计频率
5. 已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是（ ）
A.［5.5，7.5） B.［7.5，9.5） C.［9.5，11.5） D.［11.5，13.5）
6. 在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的（ ）
A.平均状态 B.分布规律 C.波动大小 D.最大值和最小值
7. 频率分布直方图的重心是（ ）
A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数
8. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）
A.众数 B.平均数 C.标准差 D.极差
9. 与原数据单位不一样的是（ ）
A.众数 B.平均数 C.标准差 D.方差
10.下列数字特征一定是数据组中数据的是（ ）
A.众数 B.中位数 C.标准差 D.平均数
11. 频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对的数字特征是（ ）
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.标准差
12. 甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为（ ）
①甲队的技术比乙队好 ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球 ④甲队的表现时好时坏
A.1 B.2 C.3 D.4
13．频率分布直方图的重心是（ ）．
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．标准差
14．下列说法错误的是（ ）．
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
15．数据的方差为，则数据的方差为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
16.一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n=________.
17. 从某校2100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间（单位:min）依次为:75，80，85，65，95，100，70，55，65，75， 85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80.该校的学生中作业时间超过一个半小时（含一个半小时）的学生有____________人.
18. 频率分布直方图中各小长方体的面积和为____________.
19. 数据－2，－1，0，1，2的方差是____________.
20. 五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a=____，这五个数的标准差是_________.
21. 已知一个样本方差为，则这个样本的容量是____________，平均数是____________.
三、解答题
22.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下:
寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
个 数 20 30 80 40 30
（1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；
（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例；
（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.
23. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下表.
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.