第四章检测题
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(
)
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
D.
(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
2．下列因式分解正确的是(
)
A．x2＋9＝(x＋3)2
B．a2＋2a＋4＝(a＋2)2
C．a3－4a2＝a2(a－4)
D．1－4x2＝(1＋4x)(1－4x)
3．多项式6a2bc－8ab2c＋4abc的公因式为(
)
A．8abc
B．2abc
C．6a2b2c2
D．4a2b2c2
4．已知a＋b＝－3，ab＝2，则(a－b)2的值是(
)
A．1
B．4
C．16
D．9
5．－4＋0.09x2因式分解的结果是(
)
A．(0.3x＋2)(0.3x－2)
B．(2＋0.3x)(2－0.3x)
C．(0.03x＋2)(0.03x－2)
D．(2＋0.03x)(2－0.03x)
6．把多项式4x2y－4xy2－x3因式分解的结果是(
)
A．4xy(x－y)－x3
B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2)
D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
7．若x2－ax－1可以因式分解为(x－2)(x＋b)，则a＋b的值为(
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
8．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，那么n等于(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
9．若9x2＋kx＋16是一个完全平方式，则k的值等于(
)
A．12
B．24
C．－24
D．±24
10．一个三角形的两边长为x，y，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，则此三角形的形状按边分一定为(
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．无法判断
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(济宁)分解因式：ma2＋2mab＋mb2＝(
)．
12．(黔东南)在实数范围内因式分解：x5－4x＝(
)．
13．计算：4
0332－4×2
016×2
017＝(
)．
14．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为(
)．
15．若x2＋y2－4x－6y＋13＝0，则x＋y＝(
)．
16．观察下列各式，探索规律：
22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；102－1＝99＝9×11……用含正整数n的等式表示你所发现的规律为(
)．
17．已知a为有理数，a3＋a2＋a＋1＝0，则1＋a＋a2＋a3＋…＋a2
016＝(
)．
18．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个因数的差的绝对值最小的一种分解a＝m×n(m≤n)可称为正整数a的最佳分解，并记作F(a)＝.如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则F(12)＝.则在以下结论：①F(5)＝5；②F(24)＝；③若a是一个完全平方数，则F(a)＝1；④若a是一个完全立方数，即a＝x3(x是正整数)，则F(a)＝x.正确的结论有(
)．(填序号)
三、解答题(共66分)
19．(12分)因式分解：
(1)a2(a－b)＋4b2(b－a)
;
(2)m4－1
；
(3)－3a＋12a2－12a3;
(4)1
998＋1
9982－1
9992.
20．(8分)先因式分解，再求值：已知a＋b＝2，ab＝2，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
21．(8分)试说明817－279－913能被45整除．
22．(8分)某公园计划砌一个如图1所示的喷水池，后有人建议改为如图2所示的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够．请你比较两种方案，哪一种所用的材料多？
23．(8分)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断三角形ABC的形状．
24．(10分)问题背景：对于形如x2－120x＋3
600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它因式分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3
456，就不能直接用完全平方公式因式分解了．此时常采用将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，使整个式子的值不变，于是有：
x2－120x＋3
456＝x2－2×60x＋602－602＋3
456＝(x－60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)
.
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4
756；
(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，长为a＋2b，求这个长方形的宽．
25．(12分)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y
.
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)
请问：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的________．
A．提取公因式法
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________；(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解.
1第四章检测题
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(
C
)
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
D.
(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
2．下列因式分解正确的是(
C
)
A．x2＋9＝(x＋3)2
B．a2＋2a＋4＝(a＋2)2
C．a3－4a2＝a2(a－4)
D．1－4x2＝(1＋4x)(1－4x)
3．多项式6a2bc－8ab2c＋4abc的公因式为(
B
)
A．8abc
B．2abc
C．6a2b2c2
D．4a2b2c2
4．已知a＋b＝－3，ab＝2，则(a－b)2的值是(
A
)
A．1
B．4
C．16
D．9
5．－4＋0.09x2因式分解的结果是(
A
)
A．(0.3x＋2)(0.3x－2)
B．(2＋0.3x)(2－0.3x)
C．(0.03x＋2)(0.03x－2)
D．(2＋0.03x)(2－0.03x)
6．把多项式4x2y－4xy2－x3因式分解的结果是(
B
)
A．4xy(x－y)－x3
B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2)
D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
7．若x2－ax－1可以因式分解为(x－2)(x＋b)，则a＋b的值为(
D
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
8．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，那么n等于(
B
)
A．2
B．4
C．6
D．8
9．若9x2＋kx＋16是一个完全平方式，则k的值等于(
D
)
A．12
B．24
C．－24
D．±24
10．一个三角形的两边长为x，y，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，则此三角形的形状按边分一定为(
A
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．无法判断
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(济宁)分解因式：ma2＋2mab＋mb2＝__m(a＋b)2__．
12．(黔东南)在实数范围内因式分解：x5－4x＝__x(x2＋2)(x＋)(x－)__．
13．计算：4
0332－4×2
016×2
017＝__1__．
14．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为__490__．
15．若x2＋y2－4x－6y＋13＝0，则x＋y＝__5__．
16．观察下列各式，探索规律：
22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；102－1＝99＝9×11……用含正整数n的等式表示你所发现的规律为__(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)__．
17．已知a为有理数，a3＋a2＋a＋1＝0，则1＋a＋a2＋a3＋…＋a2
016＝__1__．
18．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个因数的差的绝对值最小的一种分解a＝m×n(m≤n)可称为正整数a的最佳分解，并记作F(a)＝.如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则F(12)＝.则在以下结论：①F(5)＝5；②F(24)＝；③若a是一个完全平方数，则F(a)＝1；④若a是一个完全立方数，即a＝x3(x是正整数)，则F(a)＝x.正确的结论有__①③__．(填序号)
三、解答题(共66分)
19．(12分)因式分解：
(1)a2(a－b)＋4b2(b－a)
;
(2)m4－1
；
解：(1)原式＝a2(a－b)－4b2(a－b)＝(a－b)(a2－4b2)＝(a－b)(a＋2b)(a－2b)．(2)原式＝(m2＋1)(m2－1)＝(m2＋1)(m＋1)(m－1)．
(3)－3a＋12a2－12a3;
(4)1
998＋1
9982－1
9992.
解：(3)原式＝－3a(4a2－4a＋1)＝－3a(2a－1)2.(4)原式＝＝1
998＋(1
998＋1
999)·(1
998－1
999)＝1
998－1
998－1
999＝－1
999.
20．(8分)先因式分解，再求值：已知a＋b＝2，ab＝2，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝2，ab＝2时，原式＝×2×22＝4.
21．(8分)试说明817－279－913能被45整除．
解：817－279－913＝(34)7－(33)9－(32)13＝328－327－326＝326(32－3－1)＝5×326＝5×32×324＝45×324，∴817－279－913能被45整除．
22．(8分)某公园计划砌一个如图1所示的喷水池，后有人建议改为如图2所示的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够．请你比较两种方案，哪一种所用的材料多？
解：设大圆的直径为d，则周长为πd；设三个小圆的直径分别为d1，d2，d3，则三个小圆的周长之和为πd1＋πd2＋πd3＝π(d1＋d2＋d3)，因为d＝d1＋d2＋d3，所以πd＝πd1＋πd2＋πd3.图①所用的材料为2πd，图②所用的材料为πd＋πd1＋πd2＋πd3＝πd＋πd＝2πd，故两种方案所用的材料一样多．
23．(8分)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断三角形ABC的形状．
解：∵a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，∴a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0，∴原式可化为(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0，即a＝5，b＝12，c＝13(a，b，c都是正数)，而52＋122＝132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形．
24．(10分)问题背景：对于形如x2－120x＋3
600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它因式分解成(x－60)2，对于二次三项式x2－120x＋3
456，就不能直接用完全平方公式因式分解了．此时常采用将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，使整个式子的值不变，于是有：
x2－120x＋3
456＝x2－2×60x＋602－602＋3
456＝(x－60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)
.
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4
756；
(2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，长为a＋2b，求这个长方形的宽．
解：x2－140x＋4
756＝x2－2×70x＋702－702＋4
756＝(x－70)2－144＝(x－70)2－122＝(x－70＋12)(x－70－12)＝(x－58)(x－82)．(2)∵a2＋8ab＋12b2＝a2＋2×a×4b＋(4b)2－(4b)2＋12b2＝(a＋4b)2－4b2＝(a＋4b＋2b)(a＋4b－2b)＝(a＋6b)(a＋2b)，∴长为(a＋2b)时，这个长方形的宽为(a＋6b)．
25．(12分)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y
.
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)
请问：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的________．
A．提取公因式法
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________；(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解.
解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，故答案为：C.(2)该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为(x－2)4，故答案为：不彻底 (x－2)4.(3)设x2－2x＝y，原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－4)4.
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