沪科版（2012）初中数学九年级下册 24.4.2 直线与圆的位置关系-切线的判定定理 教案

24.4
直线与圆的位置关系
——《切线的判定定理》
【教学目标】：
知识与技能：1.理解切线的判定定理，并学会初步运用．
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2.知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。??????
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3.掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。
过程与方法：
通过复习直线与圆的位置关系，以“d=r直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理。
情感、态度与价值观：经历观察、探究、证明等数学活动过程，培养学生初步的演绎推理能力，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
【教学重点】：
探索圆的切线的判定定理，并能运用
【教学难点】：
切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径,利用切线的判定解决几何问题的技巧——辅助线的添加。
【教具】：
三角板、圆规、多媒体课件
【教学过程】：
1、情景导入：
当你在下雨天快速转动雨伞时，
雨水飞出的方向是什么方向呢？
雨水是沿着圆的切线的方向飞出的．
怎样判断一条直线是圆的切线呢？
2、新知探究
思考交流
图中直线l满足什么条件就是⊙O的切线？
方法1：直线与圆只有一个公共点
方法2：圆心到直线的距离等于半径
注意：实际证明过程中，通常不采用方法1;
方法2是从“数量关系”的角度来判定圆的切线的方法。
判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方法吗?
观察与思考
在⊙O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线l⊥OA。
（1）
圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么数量关系?
d=r
（2）
直线
l
和⊙O有什么位置关系呢？
相切
由此你发现直线l满足什么条件，又能得到什么结论呢？
①
直线l经过半径OA的外端点A；
②
直线l垂直于半径0A．
结论:
直线l是⊙O切线
归纳新知：
切线的判定定理：
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
对定理的理解：
切线必须同时满足两个条件：
①经过半径外端点；②垂直于这条半径．
定理的数学语言表达：
∵
OA是半径，
l
⊥OA于点A
∴
l是⊙O的切线
判
断：
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意
：
在此定理中，1.“经过半径的外端点”2.“垂直于这条半径”，这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
要点归纳：
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、应用新知
例1
已知：如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴
AC是☉O的切线.
证明直线和圆相切的常见类型①
有交点，连半径，证垂直
例2
如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
证明：过点O作OE⊥AC于点E。
∵
AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴
OE＝OD
∴
OE是⊙O的半径
∴
AC是⊙O的切线。
证明直线和圆相切的常见类型②
无交点，作垂直，证半径
归
纳：
(1)
如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这条直线垂直。
简记为：连半径,证垂直。
(2)
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长。
简记为：作垂直,证半径。
四、练习巩固：
1.判断下列命题是否正确.
⑴
经过半径外端的直线是圆的切线.
（
）
⑵
垂直于半径的直线是圆的切
（
）
⑶
过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
（
）
⑷
和圆只有一个公共点的直线是圆的切（
）
⑸
过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线
（
）
2.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°,
求证:DC是⊙O的切线.
3.
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
4.
如图，OA＝OB=5，AB＝8,
⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切
5.如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且
OA?=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
五、拓展提高
1.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①
_________
；
②
_____________
.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
2.如图，已知△ABC，且∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；
②以点B为顶点，在AB边的下方∠ABD=∠BAC．
（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系并说明理由.
3.（2018聊城中考）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．
六、课堂小结：?
1.知识：切线的判定定理(两个条件缺一不可)．
切线的性质定理
2.方法：判定直线与圆相切的三种方法：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
3.证明切线常见辅助线作法：
有交点，连半径,证垂直.
无交点,
作垂直,证半径
7、布置作业
书本P
40
页
5、6
八、板书设计
24.2.2
切线的判定定理
一、知识回顾
二、新知探究
1、切线的判定定理
2、归纳切线的三种判定方法
3、证明切线常用辅助线作法
三、新知应用
四、课堂练习
五、课堂小结
六、布置作业
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