2021年人教版九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》同步练习（word解析版）

2021年人教版九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》同步练习
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，若BC＝m，则AB的长为（　　）
A． B．m?cos36° C．m?sin36° D．m?tan36°
2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C．3 D．
3．如图，已知在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为（　　）
A．100米 B．110米 C．120米 D．130米
6．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（　　）
（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）
A．15m B．30m C．35m D．40m
8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（　　）
A．6m B．3m C．9m D．6m
9．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（　　）
A．（480+300）米 B．（960+300）米
C．780米 D．1260米
10．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（　　）
A．150m B．150m C．150m D．100m
11．如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（　　）
A．28km B．14km C．7km D．14km
12．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为（　　）
A．（36+100sin26°）米 B．（36+100tan26°）米
C．（36+100cos26°）米 D．（36+）米
二．填空题
13．在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为　 　．
14．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosA的值为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为　 　．
16．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为　 　m．
17．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为　 　米．
18．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少　 　km．
19．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．
20．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为　 　．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．
22．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】
23．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．
[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]
24．汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．
（1）求气球的高度；
（2）求气球飘移的平均速度．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75，≈1.7．）
25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）[参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90]
26．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，∠B＝36°，BC＝m，
∴cosB＝，
∴AB＝＝，
故选：A．
2．解：延长AB到D，连接CD，如右图所示，
由题意可得，
AC＝＝，CD＝1，
∴sin∠A＝＝，
故选：A．
3．解：由题意可得，
AC＝＝＝2，BC＝＝，AB＝＝5，
∵（2）2+（）2＝52，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴cos∠CAB＝＝，
故选：B．
4．解：过点P作PE⊥x轴于E，如图所示：
∵P（a，3），
∴OE＝a，PE＝3，
∵tan∠α＝＝，
∴a＝OE＝4，
∴OP＝＝＝5，
∴sinα＝＝，
故选：A．
5．解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，
∴＝，
则＝，
解得：AC＝120米，
故AB＝＝＝130（米）．
故选：D．
6．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故选：C．
7．解：设AB＝xm，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，
∴AB＝BD＝xm，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，
∴BC＝＝≈x，
由BC+CD＝BD得x+10＝x，
解得x＝30，
∴AB的长约为30m，
故选：B．
8．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
9．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．
已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，
∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴BC＝BA＝960（米）．
在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，
∴CE＝BC?sin60°＝960×＝480（米）．
∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，
故选：A．
10．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝300m，
∴AB＝OA＝150（m），
故选：C．
11．解：根据题意可知：
∠MAB＝90°﹣55°＝35°，
∠ABM＝90°+20°＝110°，
∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴BM＝AB＝28×＝14（km）．
所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．
故选：B．
12．解：由题意知：AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
∴BC＝ACtan∠BAC＝100tan26°（米），
则BD＝CD+BC＝（36+100tan26°）米，
即乙楼的高度为（36+100tan26°）米，
故选：B．
二．填空题
13．解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，
∴AD＝AB?sinB＝1，
在Rt△ACD中，tanC＝，
∴＝，即CD＝，
根据勾股定理得：AC＝＝＝，
故答案为：．
14．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，
在Rt△ACH中，cosA＝＝＝，
故答案为：．
15．解：如图作PH⊥x轴于H．
∵P（6，8），
∴OH＝6，PH＝8，
∴OP＝＝10，
∴cosα＝＝＝．
故答案为：．
16．解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，
∴BC＝m，
故答案为：6．
17．解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，
∴＝＝，
∴BC＝6（米），
∴AB＝＝＝6（米）．
故答案为：6．
18．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，
则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，
∴∠ACB＝20°+40°＝60°，
由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30km，
∴AE＝BE＝AB＝30（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10（km），
∴AC＝AE+CE＝30+10（km），
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故答案为：（30+10）．
19．解：在直角三角形中，sinA＝，
则BC＝AB?sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，
＝0.801≈0.8（m），
故答案为：0.8．
20．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，
∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，
故答案为：14°．
三．解答题
21．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，
∵∠ADB＝90°，
∴sin∠BAD＝，
又∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAD，
∴sin∠BPC＝．
22．解：由题意得，BE⊥CD于E，
BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，
在Rt△DBE中，DE＝BE?tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），
CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），
答：旗杆的高CD约为15.1米．
23．解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝80（米），
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴CD＝AD?tan63°＝80×1.96≈156.8（米），
∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），
答：该建筑物的高度BC约为237米．
24．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ACE中，
∵∠CAE＝37°，
∴CE＝AE×tan37°＝0.75AE，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，
∵∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∴AB＝AE﹣BE＝CE﹣CE＝CE＝100，
∴CE＝300（米），
答：气球的高度为300米；
（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DFEC是矩形，
在Rt△ADF中，
∵∠DAF＝60°，
∴AF＝DF＝CE＝100≈170（米），
∴AE＝CE＝400（米），
∴CD＝EF＝400﹣170＝230（米），
∴速度为：230÷100＝2.3．
答：气球飘移的平均速度每分钟为2.3米．
25．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠A＝42°，
∴tan42°＝，
∴AB＝≈133（米）
答：A、B两地之间的距离约为133米．
26．解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°＝0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈57，
∵57＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．