2021年 人教版 九年级数学下册 27.2 相似三角形 同步练习 （Word版 含答案）

2021年人教版九年级下册27.2《相似三角形》同步练习
一．选择题
1．下列各组图形一定相似的是（　　）
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
2．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AD＝2，DF＝4，BC＝3，则BE的长为（　　）
A． B． C．12 D．9
6．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠D＝∠B B．＝ C．＝ D．∠E＝∠C
7．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
8．如图，△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC边于点E，N是BC边上一点，连接AN交DE于点M，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二．填空题
9．如果两个相似三角形的周长之比为1：4．那么这两个三角形对应边上的高之比为　 　．
10．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使＝＝3，测得CD＝36m，则池塘两端AB的距离为　 　m．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为　 　．
12．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是　 　．
13．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　 　．
14．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是边BC上异于B，C的一点．
（1）若△ADE∽△ECF，则∠AEF＝　 　；
（2）若△ADE∽△ECF，则＝　 　；
（3）当CF与BC满足数量关系　 　时，△ADE∽△ECF．
16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为　 　．
三．解答题
17．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
18．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，求BE的长．
19．如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB．
21．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
22．如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．
23．如图，AC为?ABCD的对角线，作∠ABE＝∠ACB，BE交边AD于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE2＝EF?BE；
（2）若EF＝1，E是边AD的中点，求边BC的长．
24．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案
一．选择题
1．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；
D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选：C．
2．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，
∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的，
故选：C．
3．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
4．解：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2＝，
故选：C．
5．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∵AD＝2，DF＝4，BC＝3，
∴，
∴BE＝9，
故选：D．
6．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC．
A和D符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
B、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似．
故选：B．
7．解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
8．解：∵DE∥BC，
∴，△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，
∴，＝，
∴，
故选：D．
二．填空题
9．解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，
∴这两个三角形的相似比为1：4，
∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；
故答案为：1：4．
10．解：∵＝＝3，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝＝＝3，
∵CD＝36m，
∴AB＝3CD＝108米．
故答案为：108．
11．解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，
∴＝，即＝，
解得，AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝8，
故答案为：8．
12．解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，
当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，
解得，x1＝2，x2＝12，
当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，
解得，x＝，
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，
故答案为：2或12或．
13．解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9．
14．解：∵∠C＝∠BCD，
∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．
故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．
15．解：（1）∵△ADE∽△ECF，
∴∠AED＝∠EFC，
∵∠C＝90°，
∴∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠AEF＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵△ADE∽△ECF，
∴，
∵正方形ABCD中，E为CD的中点，
∴CE＝＝AD，
∴．
故答案为：2．
（3）当BC＝4CF时，△ADE∽△ECF．
∵BC＝4CF，BC＝CD，CE＝CD，
∴，
∵，
∴，
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ECF．
故答案为：BC＝4CF．
16．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，
延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，
∴△AA1B∽△DAO，
∴，
∵AD＝AB＝，
∴A1B＝，
∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5?（）2；
同理可得，A2C2＝（+）2
第2个正方形的面积为：S2＝5?（）4
…
∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5?（）4038．
故答案为：5?（）4038．
三．解答题
17．证明：∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，
∴△AEF∽△DCE．
18．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
即，
解得CE＝2.5，
∴BE＝BC+CE＝5+2.5＝7.5．
19．证明：∵AC∥EF，
∴，
∵FE∥BD，
∴，
①+②，得：，
即．
20．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
由勾股定理得DE＝＝40cm，
∴，
∴BC＝15米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（米），
答：树高AB是16.5米．
21．解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴＝，即＝，
解得OE＝60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
22．解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1，
∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm．
设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm．
∵∠B＝∠D＝90°，
∴存在两种情况．
①当△CDP∽△ABP时，＝，
即＝，
∴x＝；
②当△PDC∽△ABP时，＝，
即＝，
整理，得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6．
∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm．
23．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠EAF＝∠EBA，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF?BE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∵E是边AD的中点，
∴BC＝2AE，
∵AE∥BC，
∴△EAF∽△BCF，
∴＝＝，
∴BF＝2EF＝2，
∴BE＝3，
∵AE2＝EF?BE＝1×3＝3，
∴AE＝，
∴BC＝2AE＝2．
24．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5，
则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，
∵∠PAQ＝∠BAC，
当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；
答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．