课时分层作业
二十一点到直线的距离公式
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由两直线平行得m=8，将6x+my+1=0化为3x+4y+=0，所求距离为==.
2.原点到直线x+2y-5=0的距离是
( )
A.1
B.
C.2
D.
【解析】选D.d==.
3.已知直线l1：3x+4y-2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离
是
( )
A.
B.1
C.2
D.
【解析】选C.因为l1∥l2时，-=-，解得m=，
所以直线l2的方程为：3x+4y+8=0，
所以d===2.
4.(2018·江淮名校高二检测)与两直线3x+2y-4=0和3x+2y+8=0的距离相等
的直线是
( )
A.3x+2y+2=0
B.3x+2y-2=0
C.3x+2y±2=0
D.以上都不对
【解析】选A.由已知，设所求直线为3x+2y+C=0，则|C-(-4)|=|C-8|，所以C=2，所求直线方程为3x+2y+2=0.
5.已知A(-1，a)，B(a，8)两点到直线2x-y+1=0的距离相等，则a的值
为
( )
A.8
B.2
C.5或2
D.2或8
【解析】选D.由已知得=，解得a=2或8.
6.(2018·重庆高二检测)直线l过点B(3，3)，若A(1，2)到直线l的距离为2，则直线l的方程为
( )
A.y=3或3x+4y-21=0
B.3x+4y-21=0
C.x=3或3x+4y-21=0
D.x=3
【解析】选C.①若l的斜率不存在，即l：x=3，符合题意；②若l斜率存在，设为k，则l：y-3=k(x-3)，即kx-y-3k+3=0，所以A(1，2)到直线l的距离为d===2，解得k=-，直线l的方程为3x+4y-21=0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知直线l1与l2：x+y-1=0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_________ .?
【解析】因为l1与l2：x+y-1=0平行，
所以可设l1的方程为x+y+b=0.
又因为l1与l2的距离是，所以=，
解得b=1或b=-3，
即l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
答案：x+y+1=0或x+y-3=0
8.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是_________ .?
【解析】直线3x+2y-3=0变为6x+4y-6=0，
所以m=4.由两条平行线间的距离公式得
d==.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2018·安庆高二检测)分别求适合下列条件的直线l方程：
(1)设直线l经过点P(-1，-3)且斜率等于直线y=3x斜率的-.
(2)设直线l经过点A(-1，1)，且点B(2，-1)与直线l的距离最大.
【解析】(1)由已知，直线y=3x的斜率为3，所求直线l斜率为-，
又因为直线l经过点P(-1，-3)，
所以所求直线方程为y+3=-(x+1)，即3x+4y+15=0.
(2)设点B(2，-1)到直线l的距离为d，
当d=|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，即kl=-=，
所以直线l的方程为y-1=(x+1)，即3x-2y+5=0.
10.求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3，1)的距离为的直线方程.
【解析】(1)当直线过原点时，设直线的方程为y=kx，即kx-y=0.
由题设知=，解得k=1或k=-.
所以所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0.
(2)当直线不经过原点时，
设所求的直线方程为+=1，
即x+y-a=0.
由题意，有=，解得a=2或a=6.
所以所求直线的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.
综上可知，所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2018·南昌高二检测)已知直线l1：x+y+1=0，l2：2x+2y-3=0，则l1与l2之间的距离为
( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选B.将l2化为x+y-=0，所求距离为=.
2.P点在直线3x+y-5=0上，且P到直线x-y-1=0的距离为，则P点坐标
为
( )
A.(1，2)
B.(2，1)
C.(1，2)或(2，-1)
D.(2，1)或(-1，2)
【解析】选C.设P(x，5-3x)，则d==，|4x-6|=2，4x-6=±2，
即x=1或x=2，故P(1，2)或(2，-1).
3.在直线3x-4y-27=0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是
( )
A.(5，-3)
B.(9，0)
C.(-3，5)
D.(-5，3)
【解析】选A.过P垂直于3x-4y-27=0的直线为y-1=-(x-2)即4x+3y-11=0，
由得
4.(2018·北京高二检测)已知点P(1，1)，Q为直线x+y-1=0上任意一点，那么|PQ|的最小值是
( )
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选C.|PQ|的最小值就是点P到直线x+y-1=0的距离，d==.
5.已知点A(a，6)到直线3x-4y=2的距离为4，则a=
( )
A.2
B.
C.
D.2或
【解析】选D.由点到直线距离公式得
d===4，
即|3a-26|=20，
所以3a-26=20或3a-26=-20，
即a=或a=2.
【补偿训练】(2018·宜昌高二检测)两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0之间的距离为_________.?
【解析】直线10x+24y+5=0化为5x+12y+=0，所求距离为=.
答案：
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有
条.?
【解析】由题意知，所求直线斜率必存在，
设为直线y=kx+b，即kx-y+b=0.
由d1==1，d2==2，
解得或
答案：2
7.若两条平行直线3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离为，则=_________ .?
【解析】由两条直线平行得a=-4，应用距离公式得=.解得|c+2|=4，所以==±1.
答案：±1
8.已知两条平行直线，l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0间的距离为，则直线l1的方程为_________ .?
【解析】因为l1∥l2，所以=≠，
所以或
①当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，
把l2的方程写成4x+8y-2=0，
所以=，解得n=-22或18.
故所求直线的方程为2x+4y-11=0
或2x+4y+9=0.
②当m=-4时，直线l1的方程为4x-8y-n=0，
l2的方程为4x-8y-2=0，
所以=，解得n=-18或22.
故所求直线的方程为2x-4y+9=0
或2x-4y-11=0.
答案：2x±4y+9=0或2x±4y-11=0
9.点P在直线x+3y=0上，且它到原点与到直线x+3y-2=0的距离相等，则点P的坐标为_________.?
【解析】设点P的坐标为(-3t，t)，则=，解得t=±，
所以点P的坐标为或.
答案：或
三、解答题(每小题10分，共30分)
10.(2018·天津高一检测)已知点P(2，-1).
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【解析】(1)①当l的斜率k不存在时l的方程为x=2，符合题意；
②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，
由点到直线距离公式得=2，解得k=，
所以l：3x-4y-10=0，
综上，所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得klkOP=-1，所以kl=-=2，
直线l的方程为y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，
即直线2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.
11.求过点P(-1，2)且与点A(2，3)和B(-4，5)距离相等的直线l的方程.
【解析】方法一：设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.
由题意知，=，
即|3k-1|=|-3k-3|，所以k=-.
所以直线l的方程为y-2=-(x+1)，即x+3y-5=0；
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
方法二：当AB∥l时，有k=kAB=-，直线l的方程为y-2=-(x+1)，即x+3y-5=0.
当l过AB中点时，AB的中点为(-1，4)，所以直线AB的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
12.(2018·万州高二检测)如图，△ABC的顶点A(3，2)，∠C的平分线CD所在直线方程为y-1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y-9=0.
(1)求顶点C的坐标.
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)因为AC⊥BH，所以kAC=，所以直线AC的方程为y=x+，
由解得所以C(1，1).
(2)由kBC=-kAC=-，
所以直线BC的方程为y=-x+，
由解得所以B，
所以|AC|==，
又因为点B到直线AC的距离d=，
所以S△ABC=|AC|d=1.
【补偿训练】已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)；l2：-4x+2y+1=0；l3：x+y-1=0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限.
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的.
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.
【解析】(1)直线l2：2x-y-=0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d==，
所以=，即a+=，又a>0，
解得a=3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x-y+c=0上，且=，
即c=或，
所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有=，
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，
所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0；
由于P在第一象限，所以3x0+2=0不可能.
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0，
解得(舍去)
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0，
解得
所以存在P，同时满足三个条件.
【误区警示】(1)在应用两条平行直线间的距离公式时.要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相等.
(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略.先假设存在，依次验证题干条件.
PAGE课时分层作业
二十两点间的距离公式
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2018·安庆高二检测)设A，B是x轴上的两点，点P横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是
( )
A.x+y-5=0
B.2x-y-1=0
C.2y-x-4=0
D.2x+y-7=0
【解析】选A.由已知，点P在直线x=2上，直线PA与PB关于直线x=2对称，又PA斜率为1，所以PB斜率为-1，由x-y+1=0与x=2解得y=3，即P(2，3)，所以PB方程为y-3=-(x-2)，即x+y-5=0.
2.已知A(2，1)，B(-1，b)，|AB|=5，则b等于
( )
A.-3
B.5
C.-3或5
D.-1或-3
【解析】选C.|AB|==5.
解得b=-3或b=5.
3.若x轴正半轴上的点M到原点的距离等于点(5，-3)到原点的距离，则点M的坐标为
( )
A.(-2，0)
B.(1，0)
C.，0
D.(，0)
【解析】选D.设点M的坐标为(x，0)，根据题意得x2=52+(-3)2，解得x=±，又因为点M在x轴得正半轴，所以点M的坐标为(，0).
4.已知A(-1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为( )
A.
B.
C.3
D.2
【解析】选D.由两点间的距离公式得
|AC|==4，
|CB|==2，故==2.
5.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1，0)，B(1，0)，C，则△ABC
为
( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为|AB|=|1-(-1)|=2，
|BC|==1，|AC|
==，
所以|AC|2+|BC|2=|AB|2，
所以△ABC是直角三角形.
6.x轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是
( )
A.
B.2+
C.
D.+1
【解析】选C.设点(0，2)关于x轴对称的点为A，
则A(0，-2)，两点(0，-2)与(1，1)之间的距离即为所求值，即=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是 .?
【解析】由题意知解得
所以d==.
答案：
8.(2018·上海高二检测)已知A(2，3)，B(1，0)，动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为_________.?
【解题指南】求出点B关于y轴的对称点B′，当点P，A，B′位于同一条直线AB′上时，|PA|+|PB|取最小值.
【解析】由已知，点B(1，0)关于y轴的对称点为B′(-1，0)，又点A(2，3)，所以直线AB′方程为y=x+1，与x=0联立得，y=1，所以P(0，1).
答案：(0，1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知矩形相邻的顶点为A(-1，3)，B(-2，4)，若矩形对角线交点在x轴上，求另两个顶点C，D的坐标.
【解析】设矩形对角线交点坐标为M(x，0)，
因为|MA|=|MB|，所以=，
解得x=-5，即对角线交点为M(-5，0).
又设矩形另外两顶点为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
因为M是对角线中点，所以=-5，=0，
解得x1=-9，y1=-3，
所以C点的坐标为(-9，-3).
同理可求得D点的坐标为(-8，-4).
10.(2018·深圳高一检测)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若B点的坐标为(1，2).
(1)求直线AC的方程.
(2)求A，C两点间的距离.
【解析】(1)由所以A(-1，0)
又kAB==1，
所以x轴为∠A的平分线，故kAC=-1，所以直线AC的方程为y=-(x+1)，
即直线AC的方程为x+y+1=0.
(2)因为BC边上的高的方程为x-2y+1=0，所以kBC=-2，所以直线BC的方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0，由解得C(5，-6)，
所以|AC|==6.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2018·荆州高二检测)已知直线l1：ax-y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A(0，1)，B(-1，0)，给出如下结论：
①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；
②当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(-1，0)；
③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；
④如果l1与l2交于点M，则|MA|+|MB|的最小值是1；
其中，正确的结论的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.①正确；②正确；③错误，当a=1时，直线l1：x-y+1=0，l2：x+y+1=0，不关于直线x+y=0对称；④错误，|MA|+|MB|的最小值是|AB|=，所以正确的结论个数是2.
2.过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y=x+m平行，则|AB|的值为
( )
A.6
B.
C.2
D.不确定
【解析】选B.由kAB==1，得b-a=1，即|AB|==.
3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，-3)到原点的距离相等，则点M的坐标为
( )
A.(-2，0)
B.(1，0)
C.
D.(，0)
【解析】选D.设点M的坐标为(x，0)，根据题意得x2=52+(-3)2，解得x=±.又点M在x轴的正半轴上，所以点M的坐标为(，0).
【补偿训练】已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是
( )
A.4x+2y=5
B.4x-2y=5
C.x+2y=5
D.x-2y=5
【解题指南】先设出动点的坐标，再利用条件到A，B两点距离相等建立等式，进而求出点的坐标满足的条件.
【解析】选B.设到A，B距离相等的点P(x，y)，则由|PA|=|PB|得，4x-2y=5.
4.在西气东输工程中，有一段煤气管道所在的直线方程为l：x+2y-10=0，最近的两座城市在同一直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(5，0)，现要在管道l边上建一煤气调度中心M，使其到两城市A，B的距离之和最短，则点M的坐标
为
( )
A.(6，2)
B.
C.(4，3)
D.
【解析】选C.点B关于直线l：x+2y-10=0的对称点为C(7，4)，则直线AC的方程为x-3y+5=0，联立AC与l两直线方程得M(4，3).
5.若P(-1，-6)，Q(3，0)，延长QP到A，使|AP|=|PQ|，那么A的坐标
为
( )
A.-，-8
B.0，
C.，-2
D.-，2
【解题指南】设出点A的坐标，再利用条件P，Q，A三点共线，|AP|=|PQ|建立坐标的关系式.
【解析】选A.设A(a，b)，因为P，Q，A三点共线，所以=，即得=，
化简得3a-2b-9=0.又由|AP|=|PQ|得
=，
即为=，
化简得a2+b2+2a+12b+37=，
结合3a-2b-9=0可得a=-，b=-8，
故点A为-，-8.
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.(2018·静海高一检测)一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：x-y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_________.?
【解析】设A(1，1)关于直线l的对称点为B(a，b)，|OB|即为虫子爬行的最短路程，由已知，
解得B(0，2)，
所以|OB|=2，即虫子爬行的最短路程为2.
答案：2
7.平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，称为线段AB的范数.平面内两点C(1，5)，D(2，3)，线段CD的范数为_________.?
【解析】||CD||=|2-1|+|3-5|=3.
答案：3
8.等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边长|BC|=4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为 .?
【解析】|BD|=|BC|=2，
|AD|==2.
在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|=)2=2.
答案：2
9.(2018·扬州高二检测)已知A(4，0)，B(1，0)，动点P满足PA=2PB.设点P到点C(-3，0)的距离为d，则d的取值范围为_________.?
【解析】设P(x，y)，由已知，PA2=4PB2，即(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2，化简得y2=4-x2≥0，所以0≤x2≤4，-2≤x≤2，又因为d2=PC2=(x+3)2+y2=6x+13，所以1≤d2≤25，又因为d≥0，所以d的取值范围为[1，5].
答案：[1，5]
三、解答题(每小题10分，共30分)
10.(1)已知A(-3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知点M(x，-4)与N(2，3)间的距离为7，求x的值.
【解析】(1)设点P为(x，0)，则有，
|PA|==，
|PB|==.
由|PA|=|PB|得x2+6x+25=x2-4x+7，解得x=-.即所求点P为-，0且
|PA|==.
(2)由|MN|=7，
又|MN|==7，
得x2-4x-45=0，解得x1=9或x2=-5，
故所求x值为9或-5.
11.(2018·重庆高二检测)已知点A(1，1)，B(2，2)，C(4，0)，D，点P在线段CD垂直平分线上，求
(1)线段CD垂直平分线方程.
(2)使|PA|2+|PB|2取得最小值时，P点的坐标.
【解析】(1)线段CD中点为M，kCD=-2，
所以线段CD垂直平分线的斜率为，
所以线段CD垂直平分线方程为
y-=，即x-2y=0.
(2)设P(2t，t)，则|PA|2+|PB|2=(2t-1)2+(t-1)2+(2t-2)2+(t-2)2=10t2-18t+10，
当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P.
12.(2018·重庆高二检测)已知直线l与两条平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0分别相交于M，N两点，且直线l过点A(1，0).
(1)若|MN|=3，求直线l的方程.
(2)求证：的值为定值.
【解析】(1)①若l的斜率不存在，方程为x=1，
则M(1，3)，N(1，-6)，|MN|=9，与题意不符；
②若l的斜率存在，则设l的方程为y=k(x-1)，
由可得M，
同理N，
因为|MN|=3，所以+=9，
k=0或k=，
所以l的方程为3x-4y-3=0或y=0.
(2)由(1)知，斜率不存在时，==；斜率存在时，=
==，
综上，的值为定值.
【补偿训练】(1)在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大.
(2)在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
【解析】(1)如图，
设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1·kBB′=-1.
即3·=-1.所以a+3b-12=0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，，
且在直线l上，
所以3×--1=0.即3a-b-6=0.②
解①②得a=3，b=3，所以B′(3，3).
于是AB′的方程为=，即2x+y-9=0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2，5).
(2)如图
设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为，.
所以AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0，AC′和l交点坐标为，，故Q点坐标为，.
【拓展延伸】
解决对称问题的方法
(1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.
(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：
①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；
②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
PAGE课时分层作业
十九两条直线的交点
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.若直线(a+1)x-y+1-2a=0与(a2-1)x+(a-1)y-15=0没有交点，则实数a的值等于
( )
A.1或-1
B.1
C.-1
D.不存在
【解析】选C.由已知，两直线没有交点，则它们平行，显然两直线斜率存在，所以a+1=-，解得a=±1，经检验，当a=1时两直线不平行，舍去，所以a=-1.
2.点M(1，2)与直线l：2x-4y+3=0的位置关系是
( )
A.M∈l
B.M?l
C.重合
D.不确定
【解析】选B.将点M的坐标代入直线方程，即1×2-4×2+3≠0，所以点M不在直线l上.
3.在下列直线中，与直线x+3y-4=0相交的直线为
( )
A.x+3y=0
B.y=-x-12
C.+=1
D.y=-x+4
【解析】选C.+=1可化为3x+2y-6=0.
4.直线l1：x+y+1=0与直线l2：x-y-1=0的交点个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.无数个
【解析】选B.由已知，两直线不平行，也不重合，所以相交，有一个交点.
5.若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值为( )
A.-2
B.-
C.2
D.
【解析】选B.由得代入x+ky=0得k=-.
6.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是
( )
A.x+2y+3=0
B.x-2y+1=0
C.3x-2y+1=0
D.x-2y-1=0
【解析】选D.y=2x+1与y=x交点为(-1，-1)，又取入射光线上一点(0，1)，该点关于y=x的对称点为(1，0)，反射光线过点(-1，-1)和(1，0)，直线方程为y=(x-1)，即x-2y-1=0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2018·南川高二检测)直线x+y-2=0与x-y=0的交点坐标为_________.?
【解析】联立x+y-2=0与x-y=0，解得x=1，y=1，所以交点坐标为(1，1).
答案：(1，1)
8.直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，则a的值为 .?
【解析】首先联立
得交点坐标为(4，-2)，代入方程ax+2y+8=0
得a=-1.
答案：-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2018·北京高二检测)已知两条直线l1：3x+4y-2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：
(1)过点P且过原点的直线方程.
(2)过点P且垂直于直线l3：x+2y-1=0的直线l的方程.
【解析】(1)由解得
所以P(-2，2)，
过点P且过原点的直线斜率为-1，方程为y=-x，即x+y=0.
(2)直线l3：x+2y-1=0的斜率为-，
所以垂直于直线l3：x+2y-1=0的直线l的斜率k=2，所以直线l的方程为y-2=2(x+2)，即2x-y+6=0.
10.求经过直线l1：3x+2y-1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x-5y+6=0的直线l的方程.
【解析】解方程组
得l1，l2的交点坐标为(-1，2)，
再由l3的斜率为求出l的斜率为-，
于是由直线的点斜式方程求出l：y-2=-(x+1)，
即5x+3y-1=0.
【一题多解1】
由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1，l2的交点(-1，2)，
故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，
故l的方程为5x+3y-1=0.
【一题多解2】
由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条，
将其整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
其斜率-=-，解得λ=，
代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2018·南昌高二检测)若{(x，y)|ax+2y-1=0}∩{(x，y)|x+(a-1)y+1=0}=?，则a等于
( )
A.
B.2
C.-1
D.2或-1
【解题指南】两集合交集为空集，转化为两直线没有交点，转化为两直线平行.
【解析】选B.由已知，两直线ax+2y-1=0和x+(a-1)y+1=0平行，所以-=-，所以a=-1或2.若a=-1，直线重合，不符合题意.所以a=2.
2.两条直线l1：2x+y-1=0和l2：x-2y+4=0的交点为
( )
A.，
B.-，
C.，-
D.-，-
【解析】选B.解方程组得所以两直线的交点为
-，.
【补偿训练】已知直线l1：2x+y-10=0，l2⊥l1，且l2过(-10，0)，则l1与l2的交点坐标为
( )
A.(6，2)
B.(2，-6)
C.(-6，2)
D.(2，6)
【解析】选D.因为=-2，l2⊥l1，所以=.
又l2过(-10，0)，所以l2：x-2y+10=0.
由得
3.(2018·佛山高二检测)直线2x-3y+2=0关于x轴对称的直线方程为( )
A.2x+3y+2=0
B.2x+3y-2=0
C.2x-3y-2=0
D.2x-3y+2=0
【解析】选A.直线2x-3y+2=0与x轴即y=0交点为(-1，0)，直线2x-3y+2=0斜率为，所以所求直线斜率为-，又过点(-1，0)，所以所求直线方程为y=-(x+1)，即2x+3y+2=0.
4.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是
( )
A.-6B.-5C.k<-6
D.k>-2
【解析】选A.解方程组
得由直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，得k+6>0且k+2<0，解得-6【补偿训练】若直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于M、N两点，且MN的中点是P(1，-1)，则直线l的斜率等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.设l与y=1交于点M(m，1)，与x-y-7=0交于点N(n+7，n).
由中点坐标公式得即M(-2，1)，又P(1，-1)所以kPM=kl=-.
5.若直线l：y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解题指南】可先分析直线l：y=kx-过哪个定点，再利用直线l：y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限这一条件求出直线l的斜率的取值范围.
【解析】选B.因为直线l：y=kx-过定点(0，-)，直线2x+3y-6=0与坐标轴的交点为A(3，0)，
B(0，2)，若l与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则k>=，因此，直线的倾斜角的取值范围为<α<.
【补偿训练】(2014·锦州模拟)当0【解析】l1与l2的直线方程联立得
解方程得又因为0所以x=<0，y=>0，
故l1与l2的交点在第二象限.
答案：二
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.(2018·上海高二检测)若关于x，y的方程组无解，则a=_________.?
【解析】两个方程相减得(a-1)x=-1，由于方程组无解，所以a-1=0，即a=1.
答案：1
7.直线kx-y+1=3k，当k变化时，所有直线都通过定点 .?
【解析】由题意可知k(x-3)-y+1=0
由得
故所有直线都通过定点(3，1).
答案：(3，1)
【补偿训练】不论m取什么实数，直线mx+y-m=0都过定点 .?
【解析】由题意可知m(x-1)+y=0.
由可知
故不论m取什么实数，直线mx+y-m=0都过定点(1，0).
答案：(1，0)
8.若直线y=kx+3与直线y=x-5的交点在直线y=x上，则k的值为_________.?
【解题指南】首先解方程，再用k表示出两条直线的交点坐标，然后根据此点在直线y=x上列方程组求出k的值.
【解析】由得x=y=.
将点代入y=kx+3，
得=+3，解得k=.
答案：
9.(2018·常熟高二检测)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程为__________________ .?
【解析】由得交点A(1，1).
方法一：x-2y+1=0与x轴交点B(-1，0)，则B关于x=1的对称点B′的坐标为(3，0)，由两点A，B′得：
=，即x+2y-3=0.
方法二：由x-2y+1=0的斜率，
得对称直线的斜率为-.
由点斜式得y-1=-(x-1)，
即x+2y-3=0.
答案：x+2y-3=0
三、解答题(每小题10分，共30分)
10.直线l被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1，2)，求直线l的方程.
【解析】设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(-2-x0，4-y0)，
并且满足
即解得
因此直线l的方程为=，
即3x+y+1=0.
【一题多解】设直线l的方程为y-2=k(x+1)，
即kx-y+k+2=0.
由得x=.
由得x=.
则+=-2，解得k=-3.
因此直线l的方程为y-2=-3(x+1)，
即3x+y+1=0.
11.(2018·重庆高二检测)已知两直线l1：x+y-2=0和l2：2x-y+5=0的交点为P.
(1)求经过点P和点Q(3，2)的直线的方程.
(2)求经过点P且与l2垂直的直线的方程.
【解析】(1)由得P(-1，3)，
kPQ==-，
y-2=-(x-3)，x+4y-11=0，
(2)由垂直条件知斜率k=-，y-3=-(x+1)，
直线方程为x+2y-5=0.
12.已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(-2，-3)，E(3，1)，F(-1，2).先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标.
【解析】如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C.由已知得，直线DE的斜率kDE==，
所以kAB=.因为直线AB过点F，所以直线AB的方程为y-2=(x+1)，即4x-5y+14=0.①
同理由于直线AC经过点E(3，1)，且平行于DF，
可得直线AC的方程5x-y-14=0.②
联立①②，解得点A的坐标是(4，6).
同样，可以求得点B，C的坐标分别是
(-6，-2)，(2，-4).
因此，△ABC的三个顶点是A(4，6)，B(-6，-2)，C(2，-4).
【拓展训练】求经过两条直线l1：2x+y-8=0和l2：x-2y+1=0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线l的方程.
【解题指南】可先求出直线l1和l2的交点坐标，然后设出直线l的截距式方程或点斜式方程求解；也可以不求交点，设出过直线l1和l2的直线系方程求解.
【解析】由得交点M(3，2)，由题意可知直线在x轴、y轴上的截距存在且全不为零，
故可设直线l的方程为+=1(ab≠0).
由题意，得
所以(无解，舍去)或
解得或
所以直线l的方程为+=1或+=1，
即x-y-1=0或4x-9y+6=0.
【一题多解1】由得交点M(3，2)，
由题意得直线l的斜率k存在且k≠0，
设直线l的方程为y-2=k(x-3).
令x=0，得y=2-3k；
令y=0，得x=3-.
由S=|2-3k|·|3-|=，
解得k=1或k=.
当k=1时，直线l的方程为y-2=x-3，
即x-y-1=0；
当k=时，直线l的方程为y-2=(x-3)，
即4x-9y+6=0.
故直线l的方程为x-y-1=0或4x-9y+6=0.
【一题多解2】已知直线x-2y+1=0与坐标轴围成的三角形的面积S=×1×≠，
所以直线l的方程不可能是x-2y+1=0.
故可设直线l的方程为(2x+y-8)+λ(x-2y+1)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y+(λ-8)=0.
由题意得(2+λ)·(1-2λ)·(λ-8)≠0，
令x=0，得y=-；令y=0，得x=-.
所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积
S=·=，
所以(λ-8)2=|(1-2λ)(2+λ)|，
解得λ=3或λ=-22.
当λ=3时，直线l的方程为x-y-1=0；
当λ=-22时，直线l的方程为4x-9y+6=0.
故直线l的方程是x-y-1=0或4x-9y+6=0.
PAGE课时分层作业
十八两条直线的位置关系
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2018·南宁高二检测)已知直线l1：y=1-2x，l2：y=ax+3，若l1∥l2，则实数
a=
( )
A.-3
B.3
C.2
D.-2
【解析】选D.由已知，两直线斜率相等，即a=-2.
2.(2018·赣州高二检测)设直线l1：kx-y+1=0，l2：x-ky+1=0，若l1⊥l2，
则k=
( )
A.11
B.1
C.±1
D.0
【解析】选D.①若l1的斜率为0，即k=0，则l2：x=-1，l1⊥l2，②若l1的斜率不为0，又因为l1⊥l2，
所以k·=-1，无解，综上所述，k=0.
3.过点A(-1，3)和(2，3)的直线与x轴的位置关系
( )
A.相交不垂直
B.平行
C.垂直
D.重合
【解析】选B.点A，B的纵坐标相同，故AB平行于x轴.
4.已知A(-1，1)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为
( )
A.2
B.
C.-2
D.-
【解析】选B.kAB==，因为l∥AB，所以kl=kAB=.
5.(2018·汕头高二检测)已知直线l1：x-2y+1=0与直线l2：mx-y=0平行，则实数m的值为
( )
A.
B.-
C.2
D.-2
【解析】选A.显然l1的斜率存在，所以m=.
6.经过点P(2，)且与直线x-y+2=0平行的直线为
( )
A.x-y+=0
B.x-y-=0
C.x+y+=0
D.x+y-=0
【解析】选B.因为x-y+2=0的斜率是，所以过点P(2，)与其平行的直线方程为y-=(x-2)，即x-y-=0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2018·常熟高二检测)已知直线l1：ax+3y-1=0和l2：2x+(a-1)y+1=0垂直，则实数a的值为_________.?
【解析】显然l1的斜率存在，为-，
①若-=0，即a=0，此时l2：2x-y+1=0，不符合题意.
②若-不为0，即a≠0，由已知，
-·=-1，解得a=，
综上，a=.
答案：
8.直线l1过点A(0，3)，B(-4，-1)，直线l2的倾斜角为45°，则直线l1与l2的位置关系是_________.?
【解析】因为直线l1过A(0，3)，B(-4，-1)，所以l1的斜率k1==1，直线l2的斜率k2=tan
45°=1，因为k1=k2，故l1∥l2或重合.
答案：平行或重合
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.若顺次连接A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)，所组成的图形ABCD是什么形状？
【解析】kAB===，
kCD==，所以AB∥CD.
又kAD==-3，
kBC==-，所以AD不平行于BC.
所以四边形为梯形.
又kAB·kAD=×(-3)=-1，
所以AB⊥AD，所以四边形为直角梯形.
10.(2018·宜昌高二检测)已知三角形的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，
(1)求BC边所在的直线方程.
(2)求BC边上的高所在的直线方程.
【解析】(1)由两点式得BC的方程为=，
即5x+3y-6=0.
(2)由kBC=-得BC边上的高所在直线l的斜率k1=，所以l：y=(x+5)，
即所求直线方程为3x-5y+15=0.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2018·宿州高二检测)过点(-1，3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程
为
( )
A.2x+y-5=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.x-2y+7=0
【解析】选D.由已知，所求直线斜率为，又过点(-1，3)，所以直线方程为y-3=(x+1)，即x-2y+7=0.
2.直线(m+1)x+my+1=0与直线(m-1)x+(m+1)y-10=0垂直，则m的值为( )
A.-1
B.
C.-
D.-1或
【解析】选D.由两直线垂直可得(m+1)(m-1)+m(m+1)=0，解得m=-1或.
3.若直线ax+2y+6=0与直线x+a(a+1)y+a2-1=0垂直，则实数a的值为( )
A.-
B.0
C.1
D.0或-
【解析】选D.由两直线垂直的条件有：a+2a(a+1)=0，
即2a2+3a=0，解得a=0或a=-.
4.(2018·九江高二检测)已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+(a-1)y+a2-1=0平行，则实数a的取值是
( )
A.-1或2
B.0或1
C.-1
D.2
【解析】选C.显然l1的斜率存在，由l1与l2平行得，-=-，解得a=-1或a=2.经检验，若a=2，l1与l2重合，不符合题意，所以a=-1.
5.直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，则m的值为
( )
A.-3或2
B.-3
C.2
D.-2或3
【解题指南】两直线平行时，斜率相等，注意直线斜率不存在的情况.
【解析】选A.当m=0时，显然l1不平行于l2；
当m≠0时，若l1∥l2需=≠.①
由①式有m2+m-6=0，解得m=2或m=-3.
经检验m=2或m=-3满足题意.
【一题多解】选A.若l1∥l2，
则A1B2-A2B1=2×3-m(m+1)=0，
A1C2-A2C1=2×(-2)-m·4=-4-4m≠0.
所以m=-3或2.
【延伸探究】两直线垂直时，m的值为_________.?
【解析】当m=-1时，直线l1的斜率不存在，显然直线l1与直线l2不垂直；
当m≠-1时，直线l1的斜率为-，
又直线l2的斜率为-，因为两直线垂直，
所以-×-=-1，解得m=-.
答案：-
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.(2018·汕头高二检测)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于_________.?
【解析】两条直线斜率分别为a，a+2，又因为两直线垂直，所以a(a+2)=-1，所以a=-1.
答案：-1
7.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点P(6，m)和点Q(-2m，3)，若l1∥l2，则m=_________.?
【解析】由直线l1的倾斜角为45°，得k1=1，因为l1∥l2，则k2=1，即=1，得m=-9.
答案：-9
8.过点P(-1，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是__________________ .?
【解析】设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P(-1，3)代入，得出D=-1，故直线方程为2x+y-1=0.
答案：2x+y-1=0
【拓展延伸】直线方程的常见设法
(1)过定点P(x0，y0)的直线方程设为y-y0=k(x-x0).
(2)斜率为k0的直线方程设为y=k0x+b.
(3)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
(4)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为：Bx-Ay+n=0.
9.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直，垂足为(1，c)，则a+b+c=_________.?
【解题指南】先根据垂直求出a，把a及点(1，c)代入ax+4y-2=0求c，然后把(1，c)代入直线2x-5y+b=0，求b.
【解析】由题意知×=1，所以a=10，
因为垂足在直线ax+4y-2=0上，
所以10×1+4c-2=0，
所以c=-2，又(1，c)在直线2x-5y+b=0上，
所以2-5×(-2)+b=0，
所以b=-12，
所以a+b+c=10-12-2=-4.
答案：-4
三、解答题(每小题10分，共30分)
10.(2018·万州高二检测)已知两条直线l1：(a-1)x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0.
(1)若l1∥l2，求实数a的值.
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
【解析】(1)显然l1斜率存在，因为l1∥l2，
所以-=-，
解得a=-1或a=2，经检验都符合题意，
所以a=-1或2.
(2)显然l1的斜率存在，
①若l1的斜率为0，即a=1，此时l2：x+y+3=0，
l1与l2不垂直，不符合题意.
②若l1的斜率不为0，即a≠1，因为l1⊥l2，
所以-·=-1，解得a=，
综上，a=.
11.(2018·襄阳高二检测)已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a-3)y+a2-1=0.
(1)若l1⊥l2，求a的值.
(2)若l1⊥l2，l3∥l2，且l3过点A(1，-3)，求直线l3的一般式方程.
【解析】(1)因为l1⊥l2，
所以a+2(a-3)=0，
所以a=2.
(2)由(1)及已知得，l2：x-y+3=0，斜率为k2=1，
又因为l3∥l2，
所以l3的斜率k3=1，又因为l3过点A(1，-3)，
所以l3的方程为y-(-3)=x-1，即x-y-4=0.
12.已知三点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，分别求满足下列条件的m值.
(1)三点构成直角三角形ABC.
(2)A，B，C三点共线.
【解析】(1)若角A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB=-1，
即·=-1，得m=-7；
若角B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC=-1，
即-·=-1，得m=3；
若角C为直角，则AC⊥BC，
所以kAC·kBC=-1，
即·=-1，得m=±2，
综上可知，m=-7，或m=3，或m=±2.
(2)因为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，
所以kAB==-，
kAC==-，
由kAB=kAC，得-=-，即m=.
所以当m=时，A，B，C三点共线.
【补偿训练】已知直线l1经过点A(3，m)，B(m-1，2)，直线l2经过点C(1，2)，
D(-2，m+2).
(1)当m=6时，试判断直线l1与l2的位置关系.
(2)若l1⊥l2，试求m的值.
【解析】(1)当m=6时，A(3，6)，B(5，2)，C(1，2)，D(-2，8).
==-2，==-2，故=
此时，直线l1的方程为：y-6=-2(x-3)，经验证点C不在直线l1上，从而，l1∥l2.
(2)==-，l2的斜率存在.
若l1⊥l2，当=-=0时，m=0，则A(3，0)，B(-1，2)，此时直线l2的斜率存在，不符合题意，舍去；
当=-≠0时，=，故-·=-1，解得m=3或m=-4.综上：m=3或m=-4.
PAGE课时分层作业
十七直线方程的两点式和一般式
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2018·襄阳高二检测)已知直线x-3y-3=0，则该直线的倾斜角
为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选A.将直线一般式方程化为斜截式得y=x-1，斜率为k=tan
α=，又因为0°≤α<180°，
所以α=30°.
2.直线3x-2y=4的截距式方程是
( )
A.-=1
B.-=4
C.-=1
D.+=1
【解析】选D.由3x-2y=4，两边同除以4得，
+=1.
3.过A(1，1)，B(0，-1)两点的直线方程是
( )
A.=x
B.=
C.=
D.y=x
【解析】选A.由直线的两点式方程得=变形得=x.
4.(2018·重庆高二检测)经过点M(2，2)且在两轴上截距相等的直线是( )
A.x+y-4=0
B.x+y-2=0
C.x=2或y=2
D.x+y-4=0或y=x
【解析】选D.①若直线过原点，设方程为y=kx，将点M(2，2)代入方程得k=1，所以所求直线方程为y=x；②若直线不过原点，设方程为+=1(a≠0)，将点M(2，2)代入方程得a=4，所以所求直线方程为+=1，即x+y-4=0，综上所述，选D.
5.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为
( )
A.1
B.-1
C.7
D.-7
【解析】选B.直线在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为-4，因此截距之和为-1.
6.直线+=1过第一、二、三象限，则
( )
A.a>0，b>0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，b<0
【解析】选C.由于直线过第一、二、三象限，
故a<0，b>0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.过点(2，0)和(0，3)的直线方程的一般式为_________.?
【解析】由截距式得：+=1，即3x+2y-6=0.
答案：3x+2y-6=0
8.(2018·高邮高二检测)若点A(1，2)在直线ax+3y-5=0上，则实数a的值为_________.?
【解析】将点A(1，2)代入直线方程得a+6-5=0，解得a=-1.
答案：-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.根据下列条件求解直线的一般式方程：
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3).
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4.
(3)经过两点A(2，-3)，B(-1，-5).
(4)在x，y轴上的截距分别为2，-4.
【解析】(1)因为k=2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式可得y-3=2(x-1)，整理可得2x-y+1=0，所以直线的一般式方程为2x-y+1=0.
(2)由直线的斜率k=，且在y轴上的截距为4，故直线的斜截式为y=x+4，整理可得直线的一般式方程为x-y+4=0.
(3)由直线的两点式可得=，整理得直线的一般式方程为2x-3y-13=0.
(4)由直线的截距式可得+=1，整理得直线的一般式方程为2x-y-4=0.
10.求经过点A(-5，2)，且在y轴上的截距等于在x轴上截距的2倍的直线方程.
【解析】①当直线过原点时，设为y=kx，由点A(-5，2)得k=-，
此时，直线方程为y=-x，即2x+5y=0.
②当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1(a≠0)，
将(-5，2)代入方程，解得a=-4，
此时，直线方程为x+2y+8=0.
综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+8=0.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2018·宜昌高二检测)直线x-y+1=0的倾斜角是
( )
A.150°
B.60°
C.120°
D.30°
【解析】选D.将直线的一般式方程化为斜截式得y=x+，直线斜率为k=tan
α=，又因为0°≤α<180°，所以α=30°.
2.若直线l过点(-3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程
为
( )
A.x+3y-9=0
B.4x+y+16=0
C.x+3y-9=0或4x-y+16=0
D.x-3y-9=0
【解析】选C.由题意可设直线l的方程为+=1(a≠0，b≠0)，则a+b=12. ①
又直线l过点(-3，4)，所以+=1. ②
由①②解得或
故直线l的方程为+=1或+=1，即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
3.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°，则m的值为
( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
【解析】选D.由已知得m2-4≠0，所以k=
=tan
45°=1.
解得m=3或m=2(舍).
【补偿训练】已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为
( )
A.，1
B.，-1
C.-，1
D.-，-1
【解析】选D.原方程可化为+=1，所以=-1，所以b=-1.又ax+by-1=0的斜率k=-=a且x-y-=0的倾斜角为60°，所以k=tan
120°=-，所以a=-.
4.(2018·长沙模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是
(-3，3)，则其斜率k的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.记点P(-3，0)，Q(3，0)，又A(1，2)，所以直线PA斜率为，QA斜率为-1，数形结合，可知直线l斜率k的取值范围是.
5.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.直线方程可化为y=(3-2t)x-6，因为直线不经过第一象限，所以3-2t≤0，即t≥.
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m=_________.?
【解析】由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为=，即x+y-1=0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3+m-1=0，得m=-2.
答案：-2
7.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_________ .?
【解析】由2x-3y+12=0知，斜率为，在y轴上的截距为4.由已知，直线l的斜率为，在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为x-3y+24=0.
答案：x-3y+24=0
8.一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过B(-1，6)，则反射光线所在直线的方程为_________ .?
【解题指南】设光线反射点为P，点A关于x轴的对称点A′，则A′，P，B三点共线，故可得反射光线方程.
【解析】因为点A(3，2)关于x轴对称点A′(3，-2)，所以由两点式得A′B的方程为：=，即2x+y-4=0.故反射光线所在直线方程为：2x+y-4=0.
答案：2x+y-4=0
9.斜率与直线3x-2y=0的斜率相等，且过点(-4，3)的直线方程为__________________.?
【解析】直线3x-2y=0可化为y=x，斜率为，又因为所求直线过点(-4，3)，所以所求直线方程为y-3=(x+4)，即3x-2y+18=0.
答案：3x-2y+18=0
三、解答题(每小题10分，共30分)
10.(2018·南川高二检测)已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(4，3).
(1)求AB边所在的直线方程.
(2)求AB边的高所在的直线方程.(直线方程均化为一般式方程)
【解析】(1)方法一：由两点式方程得=，即直线AB的方程为6x-y+11=0.
方法二：由k==6，得直线方程为y-5=6(x+1)，
即直线AB的方程为6x-y+11=0.
(2)设k为AB的高所在直线的斜率，则由6k=-1，得k=-，由AB的高所在直线过点C(4，3)，得y-3=-(x-4)，
即AB边的高所在的直线为x+6y-22=0.
11.求过点P(6，-2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.
【解析】设直线的方程的截距式为+=1，则+=1，解得a=2或a=1，
则直线方程为+=1或+=1.
即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.
【一题多解】设直线的斜率为k，则直线的方程为y+2=k(x-6)，
令x=0，得y=-6k-2，令y=0，得x=6+，
则6+-(-6k-2)=1，即6k2+7k+2=0，
解得k=-或k=-，所以直线方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6).
即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.
12.(2018·重庆高二检测)在△ABC中，已知A(5，-2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标.
(2)直线MN的方程.
【解析】(1)设C(x0，y0)，则AC的中点
M，BC的中点N，
因为M在y轴上，
所以=0，x0=-5.
因为N在x轴上，
所以=0，y0=-3，即C(-5，-3).
(2)因为M，N(1，0)，所以直线MN的方程为+=1，即5x-2y-5=0.
PAGE课时分层作业
十六直线方程的点斜式
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2018·北京高二检测)若直线y=ax+c经过第一、二、三象限，则
有
( )
A.a>0，c>0
B.a>0，c<0
C.a<0，c>0
D.a<0，c<0
【解析】选A.由已知，直线不经过第四象限，所以斜率a>0，在y轴上的截距c>0.
2.直线y=-2x+a的斜率和在y轴上的截距分别是
( )
A.-2，a
B.a，-2
C.-2，-2
D.a，a
【解析】选A.由斜截式方程y=kx+b的特点知k是斜率，b是在y轴上的截距.
3.过点P(-2，0)，斜率是3的直线的方程是
( )
A.y=3x-2
B.y=3x+2
C.y=3(x-2)
D.y=3(x+2)
【解析】选D.由直线的点斜式方程得
y-0=3[x-(-2)]，
即y=3(x+2).
4.已知直线l过点P(3，2)，且斜率为-，则下列点不在直线l上的是( )
A.(8，-2)
B.(4，-3)
C.(-2，6)
D.(-7，10)
【解析】选B.方法一：由斜率公式k=(x2≠x1)，知选项A、C及D中的点与点P确定的直线斜率都为-.
方法二：由点斜式方程，可得直线l的方程为
y-2=-(x-3)，即4x+5y-22=0.
分别将A、B、C、D中的点代入方程，可知点(4，-3)不在直线上.
5.已知直线的方程是y+2=-x-1，则
( )
A.直线经过点(-1，2)，斜率为-1
B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1
C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1
D.直线经过点(-2，-1)，斜率为1
【解析】选C.由y+2=-x-1，得y+2=-(x+1)，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.
6.经过点(-3，2)，倾斜角为60°的直线方程是
( )
A.y+2=(x-3)
B.y-2=(x+3)
C.y-2=(x+3)
D.y+2=(x-3)
【解析】选C.直线的斜率k=tan
60°=，由直线的点斜式方程得，y-2=(x+3).
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.直线l的方程为y=kx-1，其中k>0，则直线l一定不经过第_________象限.?
【解析】直线在y轴上的截距为-1，过点(0，-1)，又k>0，直线的倾斜角为锐角，故直线不过第二象限.
答案：二
8.(2018·扬州高二检测)直线2x+y+1=0在y轴上的截距为_________.?
【解析】在直线方程中，令x=0得y=-1，即直线在y轴上的截距为-1.
答案：-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2018·无锡高二检测)求过点A(1，3)，斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程.
【解析】设所求直线的斜率为k，
依题意k=(-4)×=-，
因为直线经过点A(1，3)
所以所求直线方程为y-3=-(x-1).
10.已知直线y=-x+5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过点P(3，-4).
(2)在x轴上的截距为-2.
(3)在y轴上的截距为3.
【解析】直线y=-x+5的斜率k=tan
α=-，
所以α=150°，故所求直线l的倾斜角为30°，
斜率k′=.
(1)过点P(3，-4)，由点斜式方程得：
y+4=(x-3)，
所以y=x--4.即x-3y-3-12=0.
(2)在x轴上的截距为-2，即直线l过点(-2，0)，
由点斜式方程得：y-0=(x+2)，
所以y=x+，即x-3y+2=0.
(3)在y轴上的截距为3，由斜截式方程得y=x+3，即x-3y+9=0.
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2018·重庆高二检测)已知ab<0，bc<0，则直线ax+by=c通过
( )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
【解析】选C.由已知，b≠0，直线方程化为y=-x+，因为ab<0，所以->0，因为bc<0，所以<0，所以直线不过第二象限.
2.直线y-2=-(x-1)在y轴上的截距为
( )
A.-1
B.2-
C.2+
D.2
【解析】选C.令x=0，得y=2+，所以在y轴上的截距为2+.
3.过点(-1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是
( )
A.-
B.-
C.
D.2
【解析】选A.k==2，过点(-1，1)，(3，9)的直线方程为y-1=2(x+1)，y=0时，x=-，故在x轴上的截距为-.
4.已知直线l的方程为y+1=2，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为
( )
A.
B.2
C.log26
D.0
【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以logab=log24=2.
5.在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a(a≠0)，正确的是
( )
【解析】选C.若a为正数，直线y=x+a与y轴的交点在y轴正半轴，直线过第一、二、三象限，而直线y=ax过定点(0，0)，且图像是上升的，此时各选项都不正确；若a为负数，直线y=x+a与y轴的交点在y轴负半轴，直线过第一、三、四象限，而直线y=ax过定点(0，0)，且图像是下降的，选项C正确.
二、填空题(每小题5分，共20分)
6.设直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是 .?
【解析】因为已知直线的倾斜角是60°，
所以直线l的倾斜角是30°，
又直线l在y轴上的截距b=±3，
所以直线l的方程为y=x±3.
答案：y=x±3
7.已知点(1，-4)和(-1，0)是直线y=kx+b上的两点，则k=_________，b=_________.?
【解析】由题意，得解得k=-2，b=-2.
答案：-2 -2
8.(2018·温州高二检测改编)已知直线x-2y+1+λ(1-x)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，则S(λ)=_________.?
【解析】由已知，直线不过原点.令x=0得y=，令y=0得x=，所以三角形的面积为S(λ)=××=.
答案：
9.直线l：5ax-5y-a+3=0必过定点_________.?
【解析】直线方程可变形为：y-=a，它表示恒过点.
答案：
【拓展延伸】“直线过定点”问题的求解方法
含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种：①将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点；②将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”.如本题，原方程可化为(5x-1)a+3-5y=0，对任意的a都成立，所以，解得，故直线过定点.
三、解答题(每小题10分，共30分)
10.(2018·武汉高二检测)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程.
【解析】由题意可得kOA=tan
45°=1，kOB=tan(180°-30°)=-，
所以直线lOA：y=x，lOB：y=-x，设A(m，m)，
B(-n，n)，所以AB的中点C，
由点C在y=x上，且A，P，B三点共线得
解得m=，所以A(，).
又P(1，0)，所以kAB=kAP==，所以lAB：y=(x-1)，即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
11.直线l过点P(4，1).
(1)若直线l过点Q(-1，6)，求直线l的方程.
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.
【解析】(1)由直线l过P(4，1)，Q(-1，6)，
所以斜率k==-1，所以直线l的方程为；y-1=-1(x-4)，即x+y-5=0.
(2)设直线l的方程为y-1=k(x-4)，l在y轴上的截距为1-4k，在x轴上的截距为4-，故1-4k=2，得k=或k=-2，直线l的方程为y=x或y=-2x+9.
12.(2018·孝义高二检测)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-3，3)和Q(4，4)，若直线l：y-mx-2m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.
【解析】直线l：y=mx+2m，
即y=m(x+2)，直线l恒过定点A(-2，0)，斜率为m，
又因为P(-3，3)，Q(4，4)，
所以kAP==-3，kAQ==，数形结合可知l的斜率取值范围是(-∞，-3]∪，即m的取值范围是(-∞，-3]∪.
【补偿训练】1.求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为-的直线方程.
【解析】设直线方程为y=-x+b，
令y=0得x=b，
由题意知·|b|·=12，所以b2=36，
所以b=±6，所以所求直线方程为y=-x±6.
即3x+2y±12=0.
【误区警示】本题易因对直线的截距理解不清而漏解.
2.直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程.
【解析】设直线的斜率为k，又直线l过一、二、四象限，所以k<0.
则直线l的方程为y-2=k(x-1).
令x=0，得y=2-k，令y=0，得x=1-，
因为2-k+1-=6，即k2+3k+2=0，
所以k=-1或k=-2.
所以直线l的方程为：x+y-3=0或2x+y-4=0.
PAGE课时分层作业
十五直线的倾斜角和斜率
一、选择题(每小题5分，共35分)
1.(2018·宿州高二检测)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为
( )
A.2
B.3
C.-2
D.不存在
【解析】选C.由已知，k==-2.
2.斜率为的直线的倾斜角是
( )
A.120°
B.150°
C.60°
D.30°
【解析】选D.由tan
α=，0°≤α<180°，得α=30°.
3.下列说法中，正确的个数是
( )
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.直线倾斜角α必定存在，且0°≤α<180°，但不是所有直线都存在斜率，故①②③正确，④不正确.
4.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k=tan
30°=.
5.(2018·重庆高二检测)已知A(1，)，B(-1，3)，则直线AB的倾斜角
是
( )
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
【解析】选C.直线AB斜率为k==-=tan
α，又因为0°≤α<180°，所以α=120°.
6.(2018·天津高二检测)若直线过点(1，2)，(4，2+)，则此直线的倾斜角
是
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.直线斜率为k==tan
α，又因为0°≤α<180°，所以α=30°.
7.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为
( )
A.-2
B.0
C.
D.2
【解析】选B.由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan
60°+tan
120°=+(-)=0.
二、填空题
8.(5分)斜率为1的直线经过点(2，m)和(-1，2)，则m=_________.?
【解析】由=1，得m=5.
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.
(1)(0，1)，(2，3) (2)(-3，5)，(1，2)
【解析】设直线的斜率为k，倾斜角为α，则
(1)k==1>0，所以α是锐角.
(2)k==-<0，所以α是钝角.
10.经过点P(0，-1)作直线l，若直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α的范围.
【解析】方法一：如图所示，kPA==-1，
kPB==1，由图可知，
直线l的倾斜角α的范围是{α|0°≤α≤45°或135°≤α<180°}.
方法二：由已知，直线l存在斜率.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y+1=kx，即kx-y-1=0.因为A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，所以(k+2-1)(2k-1-1)≤0，即2(k+1)(k-1)≤0，所以-1≤k≤1.所以直线l的倾斜角α的范围是{α|0°≤α≤45°或135°≤α<180°}.
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知过两点A(-1，1)，B(4，a)的直线的斜率为1，则a的值为
( )
A.-6
B.-4
C.4
D.6
【解析】选D.因为过A，B两点的斜率为1，所以k==1，所以a=6.
2.若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x，0)三点共线，则x=
( )
A.1
B.-1
C.0
D.7
【解析】选B.由任意两点的斜率相等，kAB=-，kAC=，令=-，得x=-1.
【拓展延伸】揭秘三点共线问题
斜率是用来反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的直线方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是可利用斜率证明三点共线的原因，但是利用此方法要特别注意直线的斜率是否存在.
3.(2018·重庆高二检测)已知经过点P(3，m)和点Q(m，-2)的直线的斜率等于2，则m的值为
( )
A.
B.1
C.2
D.-1
【解析】选A.由已知，直线PQ的斜率k==2，解得m=.
4.已知点A(1，2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为
( )
A.(0，3)
B.(0，-1)
C.(3，0)
D.(-1，0)
【解析】选C.由题意可设P的坐标为(m，0)，则=tan
135°=-1，解得m=3.故点P的坐标为(3，0).
5.已知直线l过A，B两点，则此直线的斜率和倾斜角分别为
( )
A.1，135°
B.-1，-45°
C.-1，135°
D.1，45°
【解析】选C.因为k==-1，所以直线的倾斜角是钝角，又tan
45°=1，所以直线的倾斜角为180°-45°=135°.
6.直线l过点A(1，2)，且不经过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围
是
( )
A.[0，2]
B.[0，1]
C.
D.
【解析】选A.如图所示，当直线过点(1，2)斜率为非负，最大斜率为此点与原点的连线的斜率，图像不过第四象限，故l的斜率的取值范围为[0，2].
二、填空题(每小题5分，共10分)
7.经过两点A(4，2y+1)，B(2，-3)的直线的倾斜角为135°，则y=_________.?
【解析】由==y+2，得y+2=tan
135°=-1.所以y=-3.
答案：-3
8.过原点的直线l的倾斜角取值范围为60°≤θ≤135°时，其斜率的取值范围为_________ .?
【解析】因为60°≤θ≤135°，
所以斜率k=tan
θ≥tan
60°=，或k=tan
θ≤tan
135°=-1，
所以其斜率的取值范围为(-∞，-1]∪[，+∞).
答案：(-∞，-1]∪[，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.从M(2，2)射出的一条光线，经x轴反射后过点N(-8，3)，求反射点P的坐标.
【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系，找到直线MP与NP的斜率间的关系即可.
【解析】如图.
设P(x，0)，因为入射角等于反射角，所以kMP=-kPN，即=，解得x=-2，
所以反射点P的坐标是(-2，0).
10.设点A(-2，3)，B(3，2)，若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，求a的取值范围.
【解析】直线ax+y+2=0恒过点M(0，-2)，且斜率为-a，
因为kMA==-，kMB==，
由图可知0>-a>-且0≤-a<，
所以a的取值范围是.
【拓展训练】已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k=(x2≠x1).求的取值范围.
【解析】设k=，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1)连线的斜率.如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
因为kBQ==1，kAQ==3，
所以1≤k≤3，即的取值范围是[1，3].
【拓展延伸】巧用斜率公式的几何意义解题
由于斜率公式k=(x2≠x1)具有把几何问题代数化的功能，因此在解答过程中，可首先借助斜率公式的几何意义画出草图，然后利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界.求解过程充分体现了数与形的完美结合，渗透了解析几何的思想.
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