北师大版 九年级下册 2.1二次函数 课件(共50张)

二次函数
【重点导航】
通过本课学习，大家将掌握以下内容
二次函数的图像和性质
2.二次函数的三种表示形式
3.二次函数在给定区间上的最值问题
一、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是: x=
(3)顶点坐标是:
(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
x
y
0
【课程精讲】
1）a>0时，在对称轴左侧(x< )，函
数是减函数；在对称轴右侧(x> ) ，函数是增函数 。
a<0时，在对称轴左侧(x< )，函数
是增函数 ；在对称轴右侧(x> )，函数是减函数。
2） a>0时，y min=
a<0时，y max=
二、二次函数的三种表示形式
二次函数开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）交点式：
对称轴：
顶点坐标：
对称轴：
顶点坐标：
x = h
( h ,k )
对称轴：
顶点坐标：
与x轴两个交点为A (x1,0)、B (x2 ,0)
例1 已知二次函数 f (x) 满足 f (5) =0 , f (-1) =0,
且 = 9, 求二次函数解析式。
x
0
9
-1
5
y
例1 已知二次函数 f (x) 满足 f (5) =0 , f (-1) =0,
且 = 9, 求二次函数解析式。
x
0
9
-1
5
y
例1 已知二次函数 f (x) 满足 f (5) =0 , f (-1) =0,
且 = 9, 求二次函数解析式。
例1 已知二次函数 f (x) 满足 f (5) =0 , f (-1) =0,
且 f (x)max= 9, 求二次函数解析式。
x
0
9
-1
5
y
例1 已知二次函数 f (x) 满足 f (5) =0 , f (-1) =0,
且 = 9, 求二次函数解析式。
例1 已知二次函数 f (x) 满足 f (5) =0 , f (-1) =0,
且 = 9, 求二次函数解析式。
练习： 已知二次函数 f (x) 满足
f (2) = -1 , f (-1) =-1, 且 = 8,
求其函数解析式。
练习： 已知二次函数 f (x) 满足
f (2) = -1 , f (-1) =-1, 且 = 8,
求其函数解析式。
练习： 已知二次函数 f (x) 满足
f (2) = -1 , f (-1) =-1, 且 = 8,
求其函数解析式。
x
0
8
-1
2
y
-1
三、二次函数在给定区间上的最值问题
例2 已知二次函数y=-x２+2x+3
（1）当x∈R, 求 f (x)的值域；
（2）当x∈[-1，0], 求 f (x)的值域；
（3）当x∈[0，3], 求 f (x)的值域；
（4）当x∈[a，a+2], 求 f (x)的最大值；
（1） x∈R, 求f (x) = -x２+2x+3的值域
解: 由题意得 f (x)= -(x-1)2 +4
∵对称轴x=1 ，a<0
∴抛物线开口向下
y max=f (1)=4
∴f (x)的值域为(-∞,4]
x
-1
0
4
3
y
（2）当x∈[-1，0], f (x) =-x２+2x+3的值域
解: 由题意得 f (x)= -(x-1)2 +4
∵f (x)在(-∞,1]上是增函数
∴f (x)在[-1,0]上是增函数
∴y min=f (-1)=0
y max=f (0)=3
∴ f (x)的值域为[0,3]
x
0
4
-1
3
y
1
（3）当x∈[0，3], 求f (x) =-x２+2x+3值域
解:由题意得 f (x)= -(x-1)2 +4
对称轴 x=1 , 而1∈[0,3]
∴ y max= f (1)=4
∵f (0)= 3，f (3)=0
∴f (x)的值域为[0,4]

x
0
4
-1
1
y
3
1.已知 f (x) = -x2-4x+5 ,求它在下列条件下的值域：
（1）当x∈[-1，2]；
（2）当x∈[-3, -1]；
（3）当x∈[-3，2].
思考练习：
f (x) = - (x-2)2 +9
f (x) = -(x+5) (x-1)
（1）当x∈[-1，2]；
（2）当x∈[-3, -1]；
（3）当x∈[-3，2].
x
0
9
-2
y
2
(1) y∈[-7，8]
-1
-3
(2) y∈[8，9]
(3) y∈[-7，9]
f (x) = -(x+2)2 +9
答
案
2.已知 f (x) = x2-4x-5 ,求它在下列条件下的值域：
（1）当x∈[-1, 0]；
（2）当x∈[0, 3]；
（3）当x∈[0，6];
（4）当x∈[4，6];
思考练习：
f (x) = (x-2)2 -1
f (x) = (x+1) (x-5)
（1）当x∈[-2, 0]； （4）当x∈[3，6];
解：f (x) = (x-2)2 -9
x
0
-9
-1
5
y
2
答案：
(1) [-5,7]
(4) [-8,7]
（2）当x∈[0, 3]； （3）当x∈[0，6];
解：f (x) = (x-2)2 -9
x
0
-9
-1
5
y
2
答案：
(2) [-9,-5]
(3) [-9,7]
三、二次函数在给定区间上的最值问题
例2 已知二次函数y=-x２+2x+3
（1）当x∈R, 求 f (x)的值域；
（2）当x∈[-1，0], 求 f (x)的值域；
（3）当x∈[0，3], 求 f (x)的值域；
（4）当x∈[a，a+2], 求 f (x)的最大值；
f (x)= -(x-1)2 +4
x
0
4
y
x=1
（4）当x∈[a，a+2], 求f (x) =-x２+2x+3最大值
x
-1
0
4
3
y
x
-1
0
4
3
y
x
-1
0
4
3
y
f (x) = -(x-1)2 +4 ，x∈[a，a+2],
解: 由题意得 f (x)= -(x-1)2 +4
①当a≤1≤a+2, 即-1≤a≤1时, y max= f(1)=4
②当a+2<1,即a<-1时,
∵f (x)在 (-∞,1]上是增函数
∴y max=f (a+2)= -a2-2a+3
③当a>1时，f (x)在 [1,+∞)是减函数
∴y max= f (a)=-a2+2a+3
变式训练：
把上题（4）改为求最小值
f (x) = -(x-1)2 +4 ，x [a，a+2]
x
-1
0
4
3
y
x
-1
0
4
3
y
对称轴为x=1，区间中点为 x=a+1
①当a+1≤1，即a≤0时，
y min = f (a)=-a2+2a+3
②当a+1>1,，即a>0时，
y min = f (a+2)=-a2-2a+3
解：f (x) = -(x-1)2 +4 ，x ∈[a，a+2],
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上
的最值或值域的一般方法是：
（1）配方，画草图，检查x0= 是否属于 [ m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f (m)、f (n)、f (x0）中的较大
者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大
值， 较小者是最小值.
?
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
-1
1
0
y
x
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
-1
1
0
y
x
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
-1
1
0
y
x
-1
1
0
x
y
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
⑴当 即a≥ 2时
y min=f (-1)=4-a
函数在[-1,1]上是增函数
y max= f (1)=4+a
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
0
x
y
1
-1
0
x
y
1
-1
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
⑵
x
y
1
-1
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
0
(3)当 即a<-2时
y min= f (1)=4+a
y max= f (-1)=4-a
函数在[-1,1]上是减函数
例3 求函数 y =x2+ax+3在区间[-1,1]上的最值
0
x
y
1
-1


0
2
y
2
0
2
y
2
5
-1
【总结提升】
1.求二次函数在闭区间上最值的步骤是：
（1）配方；（2）画草图
比较对称轴和区间的相对位置关系
2.数形结合和分类讨论。