北师大版八年级数学下册第1章第3节线段的垂直平分线 (2)(共19张)

线段的垂直平分线
学习目标
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分
线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明
这一结论吗?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等

已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
A
C
B
P
M
N


分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证.
你能写出它的证明过程吗？
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A
C
B
P
M
N
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
几何语言描述
老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
深入思考：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点距离相等”的逆
命题吗?
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?如果是,请你证明它.
思考分析
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点,),然后证明另一个结论正确.
试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？
A
B
P
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C
∵PC⊥AB
∴△APC和△BPC都是Rt△ ∵PC=PC,PA=PB
∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)
∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)
∴ P在AB的垂直平分线上


A
C
B
P
方法二：
把线段AB的中点记为C,连接PC
∵C为AB的中点
∴AC=BC
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS)
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴PC⊥AB
即P在AB的垂直平分线上
A
C
B
P
.
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
B
P
例1
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
练习.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一点.
求证：PB=PC
P
B
D
C
A
解：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC

加强练习：
1，如图,已知AB是线段CD的
垂直平分线,E是AB上的一
点,如果EC=7cm,那么ED=
cm;如果∠ECD=600,那
么∠EDC= 0.
老师期望:你能说出填空结果的根据.
E
D
A
B
C
7
60
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
A
E
D
C
分析提示：这是一道计算题，题目中出现了线段垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果.
试一试：你能独立完成这道题目吗？
解：∵DE为AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长等于50
∴BE+EC+BC=50
即：AE+EC+BC=50
∴AC+BC=50
∵AC=27
∴BC=23
比一比：你的写作过程完整吗？
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
A
E
D
C
拓广探索：已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，MN交AB于O，OB=4cm，∠APB+3∠ABP=210°，求点B到AP的距离.
M
A
B
P
N
∟
C
∟
0
今天你收获了什么？
1、线段垂直平分线的定理及证明
2、线段垂直平分线的逆定理及证明
3、两个定理之间的区别与联系
结束寄语
条理清晰，因果相应,言必有据,是初学证明者谨记和遵循的原则.