北师大版八年级下册 4.2提公因式法因式分解课件(共31张PPT)

4. 2 提公因式法（2）
第四章 因式分解
北师大版数学八年级下册
1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；
复习：提公因式法
2、公因式的系数是多项式各项__________________; 3、字母取多项式各项中都含有的____________; 4、相同字母的指数取各项中最小的一个,即_________.
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
想一想：提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？
把下列各式分解因式：
(1)

(2)
(3)

(4)

Ⅰ. 提取公因数后,括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同.
Ⅱ. 利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.
分解因式：
思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
回忆搭桥
公因式 是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
找找上面各式的公因式，并尝试把他们因式分解
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
例1：把3a（x+y）-2b（x+y）分解因式；
分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即
3a（x+y）与-2ab（x+y）每项中都含有（x+y）
因此，可把（x+y）作为公因式提出来。
解： 3a（x+y）-2b（x+y）
=（x+y）.3a-2b.（x+y）
=（x+y）（3a-2b）
总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以
是一个单项式也可以是一个多项式。
例.把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式.
解： 原式＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）
分析：将x-3看作一个整体，则多项式可看成
a(x-3) 与 2b(x-3) 两项。
故公因式为x-3
整体思想的运用
练习：y(x+1)+y2(x+1)2
新知探究
不要漏掉1 哦
例2:把（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2） 分解因式
解:（1） a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b)
...
=y(x+1)(1+xy+y)
(2)
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：

(a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3;
(4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b)5 =___(b+a)5;
(6) (a+b)6 =___(b+a)6.
+
－
－
+
+
+
(7) (a+b) =___(-b-a);
-
(8) (a+b)2 =___(-a-b)2.
+
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)
(2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
－
(5)-m-n= (m+n)
(6) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
(7) (b-a)3= (a-b)3
－
＋
＋
－
－
－
小结
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b）
分解下列因式
分析：例3应用如下关系：（b-a）=-（a-b） （b-a）2=（a-b）2
（b-a）3=-（a-b）3 （b-a）4=（a-b）4
即：当n为正偶数时（b-a）n=（a-b）n
当n为正奇数时（b-a）n=-（a-b）n
例3
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
例2：分解因式
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“—”号，括到括号里的是各项都变号。
添括号则：
例. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式.
解： 原式=a(x-y)-b(x-y)　　　　　　　　　　　　　　　
=（ｘ－y）（ａ-ｂ）
分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。
其中x-y与y-x互为相反数，可将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y)与-b(x-y) 的公因式为 (x-y)
例. 把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.
解：原式=6(m-n)3-12(m-n)2 　　　　　　　　　　　　
=6(m-n)2(m-n-2)
分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数.
可将-12(n-m) 2变为-12(m-n)2，
则6(m-n)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2
把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.
解：原式= 6(x+y)(x-y)2- 9(x-y)3
= 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)]
= 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)
= 3(x-y)2(-x+5y)
=3(x-y)2(5y-x)
尝试练习
练习：1.把 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 分解因式
解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3
=12b(a-b)2 + 18(a-b)3
=6(a-b)2 [2b+3(a-b)]
=6(a-b)2 (2b+3a-3b)
=6(a-b)2(3a-b)
2：(x-y)2+y(y-x)
(2) 5x(a-b)2+10y(b-a)2
)
3
(
2
3
)
(
12
)
(
6
m
n
n
m
-
-
-
)
1
(
(
(
)
x
y
b
-
-
)
y
x
a
-
(4) a(a+b)(a-b)-a(a+b)2
(5) mn(m+n)-m(n+m)2
(6) 2(a-3)2-a+3
(7) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)
深化练习
(2)下列解法对吗？若不对，应如何改正？
解：① -x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy)
解：解法不对
改正：-x4y5+x2y2-xy = -xy(x3y4-xy+1)
②2a(b-c)-3(c-b)2
=2a(b-c)+3(b-c)2
=(b-c)(2a+3b-3c)
解：解法不对
改正：2a(b-c)-3(c-b)2
=2a(b-c)-3(b-c)2
=(b-c)(2a-3b+3c)
小结
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b）
(7)a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是( )
(A)(a-b)(a-c) (B)(a-b)(a-c)
(C)(a+b)(a-c) (D)(a+b)(a+c)
C
１、下列各式均用提取公因式法因式分解,其中正确的是( )
A. 6(x－2) ＋x(2－x)=(x－2)(6＋x)
B. x3＋3x2＋x=x(x2＋3x)
C. a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b)
D. 3xn＋1＋6xn=3xn(x＋2)
D
灵活运用：
2、m2(a－2) ＋m(2－a)分解因式等于（　）
(a－2)(m2－m) B. m(a－2)(m＋1)
C. m(a－2)(m－1) D.以上答案都不对
C
3、下列各式正确的是（　）
A. (x－y)2n=－(y－x)2n(n为正整数)
B. 整式x2－10可分解为(x＋3)(x－3) －1
C. 整式x－y＋(y－x)2可分解为(x－y)(1＋y－x)
D. a(x－2) －b(2－x)=(x－2)(a＋b)
D
4 、(a－b)3－(b－a)2=(a－b)2______________.
(a－b－1)
5 、分解因式18m2n(a－b)2－ 9mn2(b－a)=
__________________________.
9mn(a－b)(2ma－2mb＋n)
4. 求证：对于自然数n，
2n+4-2n能被30整除.
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n
=15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为自然数时，2n-1为整数，
∴2n+4-2n能被30整除.
拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
＝ 0
5.试说明:817－279－913能被45整除.
解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=325×45
∴817－279－913能被45整除.
某大学有三块草坪，第一块草坪面积为
第二块草坪面积为
，第三块草坪面积为
，求这三块草坪的总面积。
6、分解因式：
①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1
②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2
解：原式＝2xmyn
(2b－3xy2＋x2y)
解：原式＝(x＋y－z)
(a＋b－c)
解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn
(2)12xyz-9x2y2
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4) -x3y3-x2y2-xy