北师大版八年级下册数学1.1等腰三角形 (第1课时) 课件 (共27张PPT)

1.1 等腰三角形（1）
复习回顾1 三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
性质公理：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
证明:
∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知），∴∠B=∠B′（三角形内角和定理），
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）,
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证:△ABC≌△A′B′C′.
几何的三种语言
回顾与思考1
推论:
两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A=∠A′，
　∠C=∠C′，
　AB=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
证明后的结论,以后可以直接运用.
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
复习回顾2
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
1
2
A
C
B
D
回顾与思考2
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（HL）.
D
此时AD还是什么线?
证明:
过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.
回顾与思考
3
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
想一想
P3
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.
想一想
在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.
与同伴交流你在探索思路过程中的具体做法.
你能发现其中的一些相等的线段吗?
你能发现其中的一些相等的角吗?
A
C
B
你能证明发现的结论吗?
D
●
●
E
●●
●●
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
探索学习
E
●
2
例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= ∠ABC,∠2=　∠ACB(已知),
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵∠DCB=∠ EBC（已知）,
BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）,
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
A
C
B
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.
D
●
1
例题解析
例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等.
证明:∵AC=AB (已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CM= AC,BN= AB(已知),
∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB（公共边）,
∠MCB=∠NBC（已证）,
　 CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）.
∴BM=CN(全等三角形的对应边相等).
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.
A
C
B
M
N
命题证明
例3 求证:等腰三角形两腰上的高相等.
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).
在△BPC与△CQB中，
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,
∴△BPC≌△CQB（AAS）.
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等).
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.
A
C
B
P
Q
命题证明
这里是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
A
C
B
D
●
E
●
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC
(1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?
你能证明得到的结论吗？
议一议
结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角
等于顶角的一半.
结论2: 等腰三角形底边上任意一点到两

腰的距离之和等于一腰上的高.
结论
前面已经证明了“等边对等角”，反过来，
“等角对等边”成立吗?
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
A
C
B
已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.
如：作BC边上的中线；
作∠A的平分线
作BC边上的高.
想一想
定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
A
C
B
在△ABC中，
∵∠C＝∠ B （已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
定理证明
这又是一个判定两条线段相等的方法.
1.如图,△ABC中,D，E分别是AC，AB边上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO =∠DCO ， ②∠BEO=∠CDO，
③BE=CD ， ④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形).
(2)选择的（1）小题的一种情形,
证明 △ABC是等腰三角形.
B
A
E
D
C
O
①③; ①④;
②③; ②④
2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形顶角的度数?
36°90°108°
路边苦李
古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，如果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃.”小朋友摘来一尝，李子果然苦得没法吃.
开启智慧
小明说,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等.
你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?
C
A
B
●
● ●
即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C.
命题证明
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗?
C
A
B
●
● ●
假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件AB≠AC相矛盾，
因此假设不成立,原命题成立.
即∠B≠∠C.
开启智慧
先假设命题的结论反面成立，
然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，
所以假设不成立,原命题成立
你可要结识“反证法”这个新朋友噢!
反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
这种证明方法称为反证法
(reduction to absurdity)

假设
归谬
结论
开启智慧
例4 如何证明这个结论:
如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
例题讲解
3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
随堂练习
4. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,
且都大于60°, 则∠A > 60°,∠B > 60°, ∠C > 60°,
∴ ∠A+∠B+∠C >180°.
这与三角形的内角和是1800定理矛盾.
∴假设不成立.
∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
随堂练习
理解证明的必要性和规范性.
理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.
你会证明等腰（边）三角形的性质定理判定定理吗
规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要求是否内化为一种技能.
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
课堂小结