北师大版九年级数学下册课件：第三章圆第二讲垂径定理、圆周角与圆心角的关系(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册课件：第三章圆第二讲垂径定理、圆周角与圆心角的关系(共30张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-19 09:33:59 | ||
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文档简介
第二节
教学内容
１.垂经定理
２.圆周角与圆心角的关系
圆
１.１垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
例１如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是( )
A．CM＝DM
B.
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MD
例２.一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中 ，点O是 的圆心，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．
解：如图，连接OC，
设弯路的半径为R，则OF＝(R－90) m.
∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2.
即R2＝3002＋(R－90)2，
解得R＝545.∴这段弯路的半径为545 m.
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
１.２垂径定理的逆定理：
例３.OC交AB于点D，AD＝DB，AB＝6 cm，CD＝1 cm，求⊙O的半径长．
解：设圆的半径为r，则OB＝OC＝r，
∴32＋(r－1)2＝r2，
解得r＝5 cm.
即⊙O的半径长为5 cm.
２.１圆周角与圆心角的关系
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
２.１圆周角与圆心角的关系
例４已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
A．20° B．25°
C．30° D．40°
解析：∵＝，∠AOB＝60°，
∴∠BDC＝∠AOB＝30°.
故选C.
例５．已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )
A．2∠C B．4∠B
C．4∠A D．∠B＋∠C
由圆周角定理可得：∠AOB＝2∠C.
故选A.
２.２圆周角定理的推论
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆．圆内接四边形的对角互补．
例６.⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO，BO.若∠ACB＝60°，则下列结论正确的是( )
A．∠AOB＝60° B．∠ADB＝60°
C．∠AEB＝60° D．∠AEB＝30°
解析：由圆周角定理及推论可知，
，∠ACB＝∠ADB.
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠ADB＝60°.
答案：B
例７.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
解析：当点B在优弧 上时，∠ABC＝2∠AOC＝×160°＝80°.
当点B在劣弧 上时，∠AB′C＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°.
答案：D
随堂练习：
1.AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（?? ）
??????????????????
C
2.边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（??? ）
3.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（ ?????）个??
A.??? 1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?4
C
4.下列命题正确的个数是（?? ????）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
B
5.如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE ， ∠E=55°，则∠ADC的度数是(??? )
A.?55°???????????B.?45°????????????????C.?35°???????????????????D.?25°
C
6.如图 1 ，把圆形井盖卡在角尺〔角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移 10???????? ，如图 2 ， ???????? 边与圆的两个交点对应 ???????? 的长为 40???????? ，则可知井盖的直径是（ ??）
?
A.?25cm?????B.?30cm????????????C.?50cm??????????????????D.?60cm
C
7.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(?? )
A.?2∶3∶4∶5???????????????????????B.?2∶4∶3∶5???????????????????????C.?2∶5∶3∶4???????????????????????D.?2∶3∶5∶4
D
8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（?? ）
A.?10 3 cm?????????????B.?10cm????????????????C.?10 2 cm?????????D.?8 3 cm
?
B
9. ???????? 是 ⊙???? 的直径， ???????? 是弦， ????????⊥???????? ，垂足为点 ???? ，连接 ???????? 、 ???????? 、 ???????? ， ∠????????????=60? ， ????????=2 ，那么 ???????? 的长为（ ???）
?
A.?3??????B.?23?????????C.?33????????????D.?43
?
D
10.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（?? ）
A.?13寸????? B.?20寸?????? ?C.?26寸?????????????????D.?28寸
C
11.如图，△ABC内接于圆O，若∠A=m° ，则∠OBC=________度(用含m的代数式表示)
1２.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为________．
25????????或45????????
?
13.如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E，连接OD，交BE于点M且MD=2, 则BE长为________.
8
14.A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为________.
15.四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为________．
110°
16.以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为________；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．
23
?
3?1
?
17.已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
18.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE
即AC=BD
（2）解：连接OC,OA
由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE=6
∴CE= ????????2?????????2=82?62=27
AE= ????????2?????????2=102?62=8
∴AC=AE-CE=8-2 7
?
19.四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
（１）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中{∠????????????=∠????????????∠????????????=∠????????????=????????
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
?
20.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
20.解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ACDB是矩形
∵CD=16cm，PE=4cm
∴PA=8cm，BP=8cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
解得：OA=10．
答：这种铁球的直径为20cm．
21.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
.证明：∵点 C 是弧 AB 的中点，
∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，
∴OM=ON，
在△ MOC 和△ NOC 中，{????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC.
?
22.已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于________（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
23
?
（2）解：如图所示，连接OA，
因为OA=OB，OA=OD，所以
∠OAB=∠OBA=30°，
∠OAD=∠ODA=20°
∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
23.在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
解：∵∠BOD=160°∴∠BAD= 12∠????????????=80?
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°．
?
24.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）
解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，
所以OC=OB=3a，
OE=OB-BE=3a-2a=a，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= ????????2?????????2 = (3????)2?????2 =2 2 a，
∴CD=2CE=4 2 a，
所以路面的宽度l为4 2 a．
?
课堂小结：
① 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的逆应用：圆心、中点，垂直
②圆周角与圆心角的关系
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
谢谢观看
教学内容
１.垂经定理
２.圆周角与圆心角的关系
圆
１.１垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
例１如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是( )
A．CM＝DM
B.
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MD
例２.一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中 ，点O是 的圆心，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．
解：如图，连接OC，
设弯路的半径为R，则OF＝(R－90) m.
∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2.
即R2＝3002＋(R－90)2，
解得R＝545.∴这段弯路的半径为545 m.
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
１.２垂径定理的逆定理：
例３.OC交AB于点D，AD＝DB，AB＝6 cm，CD＝1 cm，求⊙O的半径长．
解：设圆的半径为r，则OB＝OC＝r，
∴32＋(r－1)2＝r2，
解得r＝5 cm.
即⊙O的半径长为5 cm.
２.１圆周角与圆心角的关系
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
２.１圆周角与圆心角的关系
例４已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
A．20° B．25°
C．30° D．40°
解析：∵＝，∠AOB＝60°，
∴∠BDC＝∠AOB＝30°.
故选C.
例５．已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )
A．2∠C B．4∠B
C．4∠A D．∠B＋∠C
由圆周角定理可得：∠AOB＝2∠C.
故选A.
２.２圆周角定理的推论
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
四边形的四个顶点都在圆上，这样的四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆．圆内接四边形的对角互补．
例６.⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO，BO.若∠ACB＝60°，则下列结论正确的是( )
A．∠AOB＝60° B．∠ADB＝60°
C．∠AEB＝60° D．∠AEB＝30°
解析：由圆周角定理及推论可知，
，∠ACB＝∠ADB.
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠ADB＝60°.
答案：B
例７.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
解析：当点B在优弧 上时，∠ABC＝2∠AOC＝×160°＝80°.
当点B在劣弧 上时，∠AB′C＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°.
答案：D
随堂练习：
1.AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（?? ）
??????????????????
C
2.边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（??? ）
3.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（ ?????）个??
A.??? 1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?4
C
4.下列命题正确的个数是（?? ????）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
B
5.如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE ， ∠E=55°，则∠ADC的度数是(??? )
A.?55°???????????B.?45°????????????????C.?35°???????????????????D.?25°
C
6.如图 1 ，把圆形井盖卡在角尺〔角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移 10???????? ，如图 2 ， ???????? 边与圆的两个交点对应 ???????? 的长为 40???????? ，则可知井盖的直径是（ ??）
?
A.?25cm?????B.?30cm????????????C.?50cm??????????????????D.?60cm
C
7.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(?? )
A.?2∶3∶4∶5???????????????????????B.?2∶4∶3∶5???????????????????????C.?2∶5∶3∶4???????????????????????D.?2∶3∶5∶4
D
8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（?? ）
A.?10 3 cm?????????????B.?10cm????????????????C.?10 2 cm?????????D.?8 3 cm
?
B
9. ???????? 是 ⊙???? 的直径， ???????? 是弦， ????????⊥???????? ，垂足为点 ???? ，连接 ???????? 、 ???????? 、 ???????? ， ∠????????????=60? ， ????????=2 ，那么 ???????? 的长为（ ???）
?
A.?3??????B.?23?????????C.?33????????????D.?43
?
D
10.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（?? ）
A.?13寸????? B.?20寸?????? ?C.?26寸?????????????????D.?28寸
C
11.如图，△ABC内接于圆O，若∠A=m° ，则∠OBC=________度(用含m的代数式表示)
1２.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为________．
25????????或45????????
?
13.如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E，连接OD，交BE于点M且MD=2, 则BE长为________.
8
14.A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为________.
15.四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为________．
110°
16.以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为________；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．
23
?
3?1
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17.已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
18.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE
即AC=BD
（2）解：连接OC,OA
由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE=6
∴CE= ????????2?????????2=82?62=27
AE= ????????2?????????2=102?62=8
∴AC=AE-CE=8-2 7
?
19.四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
（１）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中{∠????????????=∠????????????∠????????????=∠????????????=????????
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
?
20.用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
20.解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ACDB是矩形
∵CD=16cm，PE=4cm
∴PA=8cm，BP=8cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
解得：OA=10．
答：这种铁球的直径为20cm．
21.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
.证明：∵点 C 是弧 AB 的中点，
∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，
∴OM=ON，
在△ MOC 和△ NOC 中，{????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC.
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22.已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）弦长AB等于________（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．
23
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（2）解：如图所示，连接OA，
因为OA=OB，OA=OD，所以
∠OAB=∠OBA=30°，
∠OAD=∠ODA=20°
∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°
∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
23.在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
解：∵∠BOD=160°∴∠BAD= 12∠????????????=80?
∵A、B、C、D 四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°．
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24.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）
解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，
所以OC=OB=3a，
OE=OB-BE=3a-2a=a，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= ????????2?????????2 = (3????)2?????2 =2 2 a，
∴CD=2CE=4 2 a，
所以路面的宽度l为4 2 a．
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课堂小结：
① 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的逆应用：圆心、中点，垂直
②圆周角与圆心角的关系
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数一半．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
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