高二数学（选修2-1）试题
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高二数学（选修2-1）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分）
1、a3＞8是a＞2的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A．所有被5整除的整数都不是奇数；
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数；
D．存在一个奇数，不能被5整除
3、抛物线的准线方程是( )
A． B． C． D．
4、有下列命题：①是一元二次方程（）；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④若且，则且．其中真命题的个数有（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
5、椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
7、已知a＝（2，－3，1），b＝（4，－6，x），若a⊥b，则x等于（ ）
A．－26 B．－10 C．2 D．10
8、如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
9、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10、设，， 若a b＝9，则等于（ ）
A．90° B．60° C．120° D．45°
11、已知向量a＝（1，1，－2），b＝，若a·b≥0，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
12、设，常数，定义运算“﹡”：，若，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
13、命题“若，则x＝1或x＝3”的逆否命题为 ．
14、给出下列四个命题：①，是方程3x－5＝0的根；②；
③；④．
其中假命题的序号有 ．
15、若方程表示的图形是双曲线，则的取值范围为 ．
16、抛物线的准线方程是 ．
17、由向量，确定的平面的一个法向量是，则x＝ ，y＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共53分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
18、（本小题满分8分）
双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程．
19、（本小题满分10分）
已知命题“若则二次方程没有实根”.
(1)写出命题的否命题；
(2)判断命题的否命题的真假, 并证明你的结论.
20、（本小题满分11分）
已知,求证的充要条件是
21、（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（Ⅰ）证明：AD⊥D1F；
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角；
（Ⅲ）证明：面AED⊥面A1FD1．
22、（本小题满分12分）
设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2，0)，左准线 L1 ：与x轴交于点N（－3，0），过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点。
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F1(－2，0)在以线段AB为直径的圆上。
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B B A D A C D B C D
二、填空题
13、若x≠1且x≠3，则 14、② 15、
16、 17、－4，－3
三、解答题
18、解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），即c＝4，
又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝2．∴ ＝12．
故所求双曲线方程为．
19、解:(1)命题的否命题为:“若则二次方程有实根”.
(2)命题的否命题是真命题. 证明如下:
∴二次方程有实根. ∴该命题是真命题.
20、证明：必要性：
充分性：0
即
21、解：以点D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），
D1（0，0，2），E（2，2，1），F（0，1，0）．
∴＝（－2，0，0），＝（0，1，－2），
＝（0，2，1）．
（Ⅰ）∵·＝0，∴ AD⊥D1F．
（Ⅱ）∵·＝0，∴AE与D1F所成的角为90°．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，
又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．
22、解：（1）由题意知，c＝2及 得 a＝6
∴ ∴椭圆方程为
直线L的方程为：y－0＝tan300（x＋3）即y＝（x＋3）
（2）由方程组得
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＋x2＝－3 x1x2＝
∵
∴
∴点F（－2，0）在以线段AB为直径的圆上
A1
B
C
D
F
A
B1
C1
D1
E
x
y
z
H
A1
B
C
D
F
A
B1
C1
D1
E
一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分）
1、a3＞8是a＞2的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A．所有被5整除的整数都不是奇数；
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数；
D．存在一个奇数，不能被5整除
3、抛物线的准线方程是( )
A． B． C． D．
4、有下列命题：①是一元二次方程（）；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④若且，则且．其中真命题的个数有（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
5、椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
7、已知a＝（2，－3，1），b＝（4，－6，x），若a⊥b，则x等于（ ）
A．－26 B．－10 C．2 D．10
8、如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
9、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
10、设，， 若a b＝9，则等于（ ）
A．90° B．60° C．120° D．45°
11、已知向量a＝（1，1，－2），b＝，若a·b≥0，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
12、设，常数，定义运算“﹡”：，若，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
13、命题“若，则x＝1或x＝3”的逆否命题为 ．
14、给出下列四个命题：①，是方程3x－5＝0的根；②；
③；④．
其中假命题的序号有 ．
15、若方程表示的图形是双曲线，则的取值范围为 ．
16、抛物线的准线方程是 ．
17、由向量，确定的平面的一个法向量是，则x＝ ，y＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共53分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
18、（本小题满分8分）
双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程．
19、（本小题满分10分）
已知命题“若则二次方程没有实根”.
(1)写出命题的否命题；
(2)判断命题的否命题的真假, 并证明你的结论.
20、（本小题满分11分）
已知,求证的充要条件是
21、（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（Ⅰ）证明：AD⊥D1F；
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角；
（Ⅲ）证明：面AED⊥面A1FD1．
22、（本小题满分12分）
设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2，0)，左准线 L1 ：与x轴交于点N（－3，0），过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点。
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F1(－2，0)在以线段AB为直径的圆上。
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B B A D A C D B C D
二、填空题
13、若x≠1且x≠3，则 14、② 15、
16、 17、－4，－3
三、解答题
18、解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），
∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），即c＝4，
又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝2．∴ ＝12．
故所求双曲线方程为．
19、解:(1)命题的否命题为:“若则二次方程有实根”.
(2)命题的否命题是真命题. 证明如下:
∴二次方程有实根. ∴该命题是真命题.
20、证明：必要性：
充分性：0
即
21、解：以点D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），
D1（0，0，2），E（2，2，1），F（0，1，0）．
∴＝（－2，0，0），＝（0，1，－2），
＝（0，2，1）．
（Ⅰ）∵·＝0，∴ AD⊥D1F．
（Ⅱ）∵·＝0，∴AE与D1F所成的角为90°．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，
又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．
22、解：（1）由题意知，c＝2及 得 a＝6
∴ ∴椭圆方程为
直线L的方程为：y－0＝tan300（x＋3）即y＝（x＋3）
（2）由方程组得
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＋x2＝－3 x1x2＝
∵
∴
∴点F（－2，0）在以线段AB为直径的圆上
A1
B
C
D
F
A
B1
C1
D1
E
x
y
z
H
A1
B
C
D
F
A
B1
C1
D1
E
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