第五章 生活中的轴对称单元测试培优卷（含解析）

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生活中的轴对称
单元测试培优卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题.（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，有下列说法：①点P在∠A的平分线上；
②AS=AR；
③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的是（
）
A．全部正确
B．仅①②正确
C．仅②③正确
D．仅①③正确
3．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2
4．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点为乙方一枚棋子，欲将棋子跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（
）
A．2步
B．3步
C．4步
D．5步
5．如图，若△ABC
与△A′B′C′关于直线
MN
对称，BB′交
MN
于点
O，则下列说法不一定正确的是（
）
A．AC＝A′C′
B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN
D．AB∥B′C′
6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为(　　)
A．13
B．15
C．17
D．19
7．下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8．如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（
）
A．2
B．4
C．
D．
9．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（
）
A．7条
B．8条
C．9条
D．10条
二、填空题.（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．如图所示,∠A0B=420，点P为∠A0B内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为________，∠MPN
________.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC＝4，AD＝6，E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是________．
13．如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，△ABD的周长为12，AC＝5，则△ABC的周长是________．
14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是______．
15．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有_____(填序号)．
①AC⊥BD；②AC，BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC＝90°；⑤筝形ABCD的面积为AC·BD．
16．如图所示,公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,则下列说法中:①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远;②小明从家到书店与从家到学校一样远;③小颖从家到书店与从家到学校一样远;④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远.正确的是__.(填写序号)?
17．如图所示,把宽为2
cm的长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若△PFH的周长为10
cm,则长方形ABCD的面积为____.?
18．如图所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,AB=25
cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE的周长为43
cm,则底边BC的长为___.?
三、解答题.（共5小题，其中19-22题每题9分，23题10分，满分46分）
19．平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
20．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称，整个图形是轴对称图形吗，它共有几条对称轴?
21．如图，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周长．
22．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）折叠后，DC的对应线段是　　，CF的对应线段是　　；
（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；
（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．
23．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC.
(1)若△ADE的周长为6
cm，△OBC的周长为16
cm.
①求线段BC的长；
②求线段OA的长．
(2)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
参考答案
1．C
【解析】
试题解析：A图形有8条对称轴，B图形有无数条对称轴；C图形有2条对称轴；D图形有6条对称轴.
故选C.
2．A
【解析】
∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴P在∠A的平分线上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，，
∴△BRP≌△QSP（AAS），
∴①②③④项四个结论都正确，
故选A．
3．A
【解析】
由折叠知△BDC
≌△BDC
∴∠C′BD=∠CBD=22.5°
∠C′=∠C=90°
∴∠C′BC=45°
又∵∠ABC=90°
∴∠ABE=45°
易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°．
综上所述共有5个角为45°，故选A．
4．B
【详解】
解：根据题中规则，点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；点从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内；所以跳行的最少步数为3步.
故选B.
5．D
【详解】
∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，BO=B′O，AA′⊥MN，故A、B、C选项正确，AB∥B′C′不一定成立.
∴不一定正确的是选项D．
故选D．
6．C
【详解】
解：∵DE垂直平分AC,
∴AE=CE,AD=DC,
由题可知,CE=AE=4,AB+BC+AC=25,
∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=25-8=17,
故选C.
7．C
【详解】
解：①成轴对称的图形，关于对称轴折叠后可重合，故正确；
②轴对称不仅考虑全等，还要考虑位置，所以全等三角形不一定成轴对称，故错误；
③两个同心圆，是轴对称图形，半径不相等，故错误；
④两个圆半径相等，则全等，并且总能找到作为对称轴的一条直线，所以一定成轴对称，故正确．
∴①④共2个正确．
故选C．
8．C
【详解】
解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，则FG=FG'，
同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，
则H'E'=HE．
容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'==2．
故选C．
9．C
【详解】
解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形，故（3）正确；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形，故（1）正确；
等边三角形是特殊的等腰三角形，故（2）正确；
这个图形是等边三角形，形状可以确定，故（4）错误；
存在这样的三角形，即等边三角形，故（5）错误；
所以前三项正确，即正确有三个．
故选C．
10．A
【详解】
解：如图：
∴最多画7条，
故选：A．
11．15
96°
【详解】
∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，PP2⊥OB，PP1⊥OA，∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15，∠P1PP2=360°－90°－90°－42°=138°，∠P2=∠NPP2，∠P1=∠P1PM，∴∠PNM=2∠P2，∠PMN=2∠P1，∴∠PNM+∠PMN=2∠P1+2∠P2=2（180°－∠P1PP2）=84°，∴∠MPN=180°－（∠PNM+∠PMN）=180°－84°=96°．
故答案为：15，96°．
12．12
【详解】
∵BD＝DC＝4
∴AD是△ABC的中线，
∴BC=BD+DC=4+4=8，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴，
∵△ABC的面积是：
，
∴图中阴影部分的面积是
．
故答案为12．
13．17
【详解】
解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，
∴AD=CD,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=12,
∵AC＝5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+5=17.
14．①②③
【详解】
∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE①成立，
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
又∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又AC=BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，
由△CQB≌△CPA得AP=BQ③成立，
故答案为①②③
15．①③⑤
【详解】
∵在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；
∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；
由题中条件无法证明∠ABC=∠ADC=90°，故④错误；
∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC?BOAC?ODAC?BD．
故⑤正确；
综上所述：正确的说法是①③⑤．
故答案为①③⑤．
16．②③
【详解】
解:∵公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,
∴CA=CD,BA=BD,
即小明从家到书店与从家到学校一样远;小颖从家到书店与从家到学校一样远.
故答案为②③.
17．20cm2
【详解】
解：由折叠可知,BF=PF,CH=PH,
∴BC=PH+FH+PH,
∵△PFH的周长为10
cm,
∴BC=10cm,
∵长方形纸条的宽为2cm,
∴长方形ABCD的面积=20cm2.
18．18cm
【详解】
解：∵∠ABC=∠ACB,
AB=25
cm,
∴AB=AC=25,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∵△BCE的周长为43
cm,
∴BE+EC+BC=AC+BC=43,
∴BC=43-25=18cm.
19．（1）如图所示见解析；（2）△ABC的面积为5；（3）A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1．（3，1）．
【详解】
（1）如图所示：
（2）由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5，
∴△ABC的面积=AB×5=5．
（3）∵A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1），△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，
∴A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1（3，1）．
20．图中有阴影的三角形与三角形1，3成轴对称；整个图形是轴对称图形；它共有2条对称轴
【详解】
解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，
整个图形是轴对称图形，
它共有2条对称轴.
21．（1）∠B=20°；（2）△AEB的周长=11.25．
【详解】
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°；
（2）由勾股定理得，=4，
设AE=BE=x，则CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+（4﹣x）2=x2，
解得x=，
∴△AEB的周长=×2+5=11.25．
22．（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6
【详解】
（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；
故答案为：BC′，C′F．
（2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=50°．
∴∠2=∠BEF=50°，
∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；
故答案为：50°，80°
（3）∵AB=8，DE=10，
∴BE=10，
∴AE==6，
∴AD=BC=6+10=16，
∵∠1=∠BEF=50°，
∴BF=BE=10，
∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．
故答案为：6
23．(1)
①6cm;
②5cm;(2)
60°
【详解】
(1)①因为l1是AB边的垂直平分线，所以AD＝BD.
因为l2是AC边的垂直平分线，
所以EA＝EC，
所以BC＝BD＋DE＋EC＝AD＋DE＋EA＝6
cm.
②因为l1是AB边的垂直平分线，
所以OA＝OB.
因为l2是AC边的垂直平分线，所以OA＝OC.
因为OB＋OC＋BC＝16
cm，
由(1)知，BC＝6
cm，
所以OA＝OB＝OC＝5
cm.
(2)因为∠BAC＝120°，
所以∠ABC＋∠ACB＝60°.
因为AD＝BD，EA＝EC，
所以∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
所以∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝∠BAC－∠ABC－∠ACB＝60°.
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精品试卷·第
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