1.3 线段的垂直平分线 一课一练（含解析）

初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.3 线段的垂直平分线
一、单选题
1.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（?? ）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?13?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?15
2.如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆，两弧相交于点 ，连接 与 相较于点 ，则 的周长为（??? ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?11?????????????????????????????????????????D.?13
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于E，DE=5，BC=11，则BD的长为(??? )

A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）
A.?AB垂直平分CD????????????B.?CD垂直平分AB????????????C.?AB与CD互相垂直平分????????????D.?CD平分∠ACB
5.如图,DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长为（?? ）．
A.?16?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?26?????????????????????????????????????????D.?28
6.如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（?????? ）

A.?80°??????????????????????????????????????B.?85°??????????????????????????????????????C.?90°??????????????????????????????????????D.?105°
7.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（　　）
A.?锐角三角形????????????????????????B.?钝角三角形????????????????????????C.?直角三角形????????????????????????D.?不能确定
8.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（　　）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
二、填空题
9.已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC=________.
10.在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是________.
11.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC与点E，若三角形BCE的周长等于50，则BC的长为________.
12.如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=________．
13.如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为________．
三、解答题
14.已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长.
15.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
2.【答案】 A
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.
故答案为：A.
3.【答案】 B
解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD=DE=5，
∵BC=11，
∴BD=6.
故答案为：B.
4.【答案】 A
解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选A．
5.【答案】 B
解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=10，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18，
故答案为：B
6.【答案】 C
解：∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.

7.【答案】 C
解：如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角。
故选C．
8.【答案】 B
解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
易得OB⊥EF，
∴△OMB≌△OEB，
∴△EOB≌△CMB，
故②正确；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，
故③正确；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，
故④错误；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选B
二、填空题
9.【答案】 18cm
解：∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OB=OC=OA=6cm，
∴OA+OB+OC=18cm.
故答案为：18cm.
10.【答案】 PA=PB=PC
解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
11.【答案】 23
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50-27=23.
故答案为：23.
12.【答案】 32°
解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°
13.【答案】 45°
解：
∵
∴
∴
故答案为：45°．
三、解答题
14.【答案】 解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝EC，
∵AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，
∴AC＝AE+EC＝3+3＝6cm，
△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝13cm，
所以，△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm.
15.【答案】 解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．