1.2 直角三角形 一课一练（含解析）

初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.2 直角三角形
一、单选题
1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（??? ）
A.?两条直角边对应相等。???????????????????????????????????????B.?斜边和一锐角对应相等。
C.?斜边和一条直角边对应相等。?????????????????????????????D.?两锐角相等。
2.如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是(??? )

A.?DC=BA????????????????????????????B.?EC=FA????????????????????????????C.?∠D=∠B????????????????????????????D.?∠DCE=BAF
3.如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是? （????????? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?.
4.如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（?? ?）
A.?SAS??????????????????????????????????????B.?AAS??????????????????????????????????????C.?SSA??????????????????????????????????????D.?HL
5.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(?? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（?? ）
A.?6cm?????????????????????????????????????B.?7cm?????????????????????????????????????C.?8cm?????????????????????????????????????D.?9cm
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（? ）
A.?3cm?????????????????????????????????????B.?4cm?????????????????????????????????????C.?6cm?????????????????????????????????????D.?9cm
8.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(? ??)
A.?①②④?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①③
二、填空题
9.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌________，全等的根据是________．
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，AB=4cm，则∠BCD=________，BD=________．
11.判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是________
12.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是?________（将你认为正确的答案序号都写上）．
13.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．
14.如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于________
三、解答题
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC．求证：AD=2CD．
16.如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
2.【答案】 A
解：∵ DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时，?可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
3.【答案】 C
解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
4.【答案】 D
解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
5.【答案】 D
解：根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
6.【答案】 C
解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
7.【答案】 C
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故答案为：C．
8.【答案】A
解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF,
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
二、填空题
9.【答案】△DFE；HL
解：EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
10.【答案】30°；1cm
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D， ∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠A=30°；
∵在△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD=30°，
∴BC=2BD；
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∴AB=2BC=4BD，
BD= AB=1cm．
故答案为30°，1cm．
11.【答案】（1）和（2）
解：∵（1）一锐角与一边对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（ 2 ）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（ 3 ）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）
12.【答案】①、②、④
解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD?? 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴②△CEB≌△ADC??? 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE．?????? 正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．
13.【答案】 AB=DC
解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．
故答案为：AB=DC．
14.【答案】60°或120°
解：①如图，作过点P的MN，过点M作MQ⊥BC，
∵正方形ABCD，
∴MQ=CD=AD，∠MQN=∠C=∠D=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADE中，
MQ=AD，AE=MN，
∴Rt△ADE?Rt△ADE（HL），
∴∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ-∠QMN=90°-30°=60°；
②如图，同理可得∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ+∠QMN=90°+30°=120°.
故答案为60°或120°.
15.【答案】证明：
过D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，
∴CD=DE，∠DEA=90°，
∵∠A=30°，
∴AD=2DE，
∴AD=2CD
16.【答案】解：延长AD、BC交于E， ∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=60°，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD=CE=DE=x，
∵AD=4，BC=1，
∴2（1+x）=x+4，
解得；x=2，
∴CD=2．