1.1 等腰三角形 一课一练（含解析）

初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.1 等腰三角形
一、单选题
1.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和4cm，则它的周长为（ ??）
A.?10cm?????????????????????????????B.?12 cm?????????????????????????????C.?20 cm或16 cm?????????????????????????????D.?20 cm
2.如果等腰三角形的一个外角为140°，那么底角为（?? ）
A.?40°????????????????????????????????????B.?60°????????????????????????????????????C.?70°????????????????????????????????????D.?40°或70°
3.下列说法正确的是（?? ）
A.?等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合????????B.?等角对等边
C.?等腰三角形一定是锐角三角形?????????????????????????????D.?等腰三角形两个底角相等
4.已知 是 的两边，且 ，则 的形状是（? ）
A.?等腰三角形?????????????????????????B.?等边三角形?????????????????????????C.?锐角三角形?????????????????????????D.?不确定
5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，在x轴上确定点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P有（? ）
A.?2个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?5个
6.如图，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB ， 过点F作EG∥BC分别交于点AB、AC于点E、G ． 若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（　　）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?21?????????????????????????????????????????D.?19
7.等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（　　）
A.?等于顶角?????????????????B.?等于顶角的一半?????????????????C.?等于顶角的2倍?????????????????D.?等于底角的一半
8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC 交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.
其中正确的结论是(???? )
A.?①②③????????????????????????????????B.?①②④????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????D.?①③④
二、填空题
9.如图，△ABC的周长为18，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为13，那么AD的长为________．
10.在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，BC=10cm， 则 BD=________ cm．
11.如图，△ABC中.点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点.若∠CAE=16°，则∠B为________度.
12.如图，已知点P是射线 上一动点， 若 为等腰三角形，则 ________．
13.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为________．
三、解答题
14.如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB.
求证：△ADC是等腰三角形.
15.已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
16.已知：如图， AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：①当腰是4，底边是8时，4+4=8，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4，腰长是8时，能构成三角形，则其周长=8+8+4=20．
故答案为：D．
2.【答案】 D
解：∵外角为140°，∴与它相邻的内角是180°﹣140°=40°；
①当40°是顶角时，底角是（180°﹣40°）÷2=70°；②当40°是底角时，底角是40°.
故答案为：D.
3.【答案】 D
解： A：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高三线重合，不符合题意；
B、?在同一三角形中等角对等边，不符合题意；
C、 等腰三角形不一定是锐角三角形，如顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，不符合题意；
D、 等腰三角形两个底角相等，正确，符合题意；
故答案为：D.
4.【答案】 A
解：因为： ，所以： ，
所以： ，所以三角形ABC是等腰三角形，
故答案为：A．
5.【答案】 C
解：如图，
，
当AO＝OP1 ， AO＝OP3时，P1（﹣ ，0），P3（ ，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），
当AO＝AP4时，P4（2，0），
故符合条件的点有4个．
故答案为：C．
6.【答案】 B
解：∵EG∥BC ，
∴∠EFB＝∠FBC ， ∠GFC＝∠FCB ，
∵BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB ，
∴∠EBF＝∠FBC ， ∠GCF＝∠FCB ，
∴∠EBF＝∠EFB ， ∠GFC＝∠GCF ，
∴EF＝EB ， FG＝GC ，
∴△AEG的周长＝AE+EF+FG+AG＝AE+EB+AG+GC＝AB+AC＝9+11=20
故答案为：B．
7.【答案】 B
解：如图，过A作AE⊥BC，

∵△ABC是等腰三角形，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC，
∵CD⊥AB，
∠CBD=ABE，
∴∠BAE=∠BCD，
∴∠BCD=∠BAC.
故答案为：B.
8.【答案】 A
解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴， ， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴，
∴， 故②正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC ，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
如下图，过点O作OM⊥AB于点M，过点O作ON⊥BC于点N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即：点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；
∴， 故④错误.
故正确的是①②③.
故答案为：A.
二、填空题
9.【答案】 4
解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AB+AC+BC=18，
即AB+BD+CD+AC=18，
∴AC+DC=9，
又∵AC+DC+AD=13，
∴AD ，
故答案为：4．
10.【答案】 5
解：∵AB＝AC ， AD⊥BC ，
∴BD＝ BC＝ ×10＝5cm．
故答案为：5．
11.【答案】 37

解：∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37.
12.【答案】 50°、80°或65
解：在P运动的过程中有三种情况，分别求解．
第一种情况，当AO为等腰三角形底边时，得AP=PO，
∴∠A=∠AON=50°；
第二种情况，当PO为等腰三角形底边时，得AP=AO，
∴∠APO=∠AON=50°
∴∠A=80°；
第三种情况，当AP为等腰三角形底边时，得PO=AO，
∴∠A= ．
故答案为：50°、80°或65°．
13.【答案】 2、7或8．
解：∵AB=10，点Q是BA的中点，
∴AQ=BQ= BA= ×10=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，
①如图1，PQ=AQ=5时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理，QE= ，
∴BE=BQ+QE=5+3=8，
∴CP=BE=8；
②如图2，AP=AQ=5时，
根据勾股定理，DP= ，
∴CP=10-3=7；
③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理：QE= ，
∵BE=QB-EQ=5-3=2，
∴CP=BE=2，
综上所述，CP的长为2或7或8．
故答案为：2、7或8．
三、解答题
14.【答案】 证明:∵AB//CD:.∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB.:.∠DAC=∠CAB
:.∠DCA=∠DAC
:.AD=CD即△ADC是等腰三角形。
15.【答案】 证明：过O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
∵∠1=∠2， ∴OB=OC，
∵AO平分∠BAC， ∴OD=OE，
∴RTΔODB≌RTΔOEC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∴∠ABO+∠1=∠ACO+∠2，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC， ∴ΔABC是等腰三角形．
16.【答案】 证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．