人教版八年级数学下册 17.2 勾股定理逆定理 课件（2课时 33张）

勾股定理的逆定理(1)
X
回忆过去
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
温故知新
a
b
c
C
B
A
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c ，那么a2+b2=c2.
反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 .那么这个三角形的形状怎样？
思考：
形
数
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
3
4
5
请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
3
2
4
2
5
2
+
=
3
4
5
A
C
B
A
′
B
′
C
′
3
4
古埃及人的做法：
△ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
这两个三角形有什么关系？
全等
我们作RT △ABC，使 =3、 =4
B
′
C
′
A
′
C
′
3
4
5
A
C
B
A
′
B
′
C
′
3
4
在 中根据勾股定理有
≌
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
2.5，6，6.5； 6，8，10。
（1）这三组数都满足
吗？
（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
动手画一画
由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的
形式说出你的观点!
命题2
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题是否是真命题？
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2
∴ A’B’ =c
∵ 边长取正值
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
则 △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
A
C
B
A
′
B
′
C
′
证明：
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
例题解析
(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵ a2＋b2 ＝ 152＋82＝225＋64＝289
c2 ＝ 172＝289
∴ a2＋b2＝c2
∴这个三角形是直角三角形
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
例题解析
(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵ a2＋c2 ＝ 132＋142＝169＋196＝365
c2 ＝ 152＝225
∴ a2＋b2≠c2
∴这个三角形不是直角三角形
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
下面以a,b,c（a,b,c所对角分别为∠ A,∠B, ∠C ）为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠A=900
∠B=900
∠C=900
像3,4, 5,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
3k,4k,5k(k是正整数)也是一组勾股数
满足 的三个正整数，称为勾股数。
（a、b、c为正整数）
你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5； 5，12，13；
6，8，10； 7，24，25；
8，15，17 ；9，40，41
课堂练习
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
(2)∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4,
b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4,
c2 = (2mn )2 = 4m2n2
∴m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
例 2.在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求此三角形的面积。
∴△ＡＢＣ为直角三角形,∠B=90°
∴ △ABC的面积为
8
15
17
A
B
C
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
驶向胜利的彼岸
定理与逆定理
开启 智慧
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
试一试
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆定理
定理
勾股定理的逆定理(2)
例2： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
Q
R
N
远航
海天
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90° 求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
随堂练习：
1、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
(A)1, 2, 3 (B)4, 6, 8 (C)5, 5, 4 (D)15,12, 9
2、如果线段a、b、c能组成直角三角形, 则它们的比可能是（ ）
（A）3:4:7; （B）5:12:13;
（C）1:2:4; （D）1:3:5.
D
B
三角形的三边分别是a、b、c, 且满足
(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:( )
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;
是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形.
A
4、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件
中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个
零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
此时四边形ABCD
的面积是多少?
5、 已知a、b、c为△ABC的三边,且 满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
思维训练
6、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
思维训练
判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
探索
猜想
归纳
验证
应用
拓展
知识源于探索
学习收获
再 见