(共35张PPT)
16.1 二
次
根
式
第2课时
合作探究培素养
知识点一 二次根式非负性的应用(P4例3拓展)?
【典例1】(6分)已知实数x，y满足|x+y-12|+
=0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长.
【思维模板】
通关四步
具体操作
理解题意
依据二次根式的非负性求得未知数的值，然后在满足三角形三边关系的情况下求解.
思路探索
根据非负数的意义列出关于x，y的方程(组)，并求出x，y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.
通关四步
具体操作
规范书写
根据非负数的意义可知：
，
…………1分
解得x=4，y=8.
…………3分
①若4是腰长，则三角形的三边长分别为4，4，8，
不能组成三角形；…………5分
②若4是底边长，则三角形的三边长分别为4，8，8，
能组成三角形，故周长为4+8+8=20.
…………6分
题后反思
若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零.
【学霸总结】
二次根式非负性的应用
(1)在实数范围内，式子
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负
性.
(2)“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些与算术
平方根有关的问题.
【多维训练】
1.-
的倒数的平方是
(
)
A.2
B.
C.-2
D.-
B
★2.若a，b为实数，且|a+1|+
=0，则(ab)2
020的值是(
)
A.0
B.1
C.-1
D.±1
★3.对任意实数a，下列等式一定成立的是(
)
A.
=a
B.
=-a
C.
=±a
D.
=|a|
★★4.已知实数x满足
·|x+1|≤0，则x的值为______.?
B
D
2
★★5.计算：
解：(1)
(2)(-
)2+
=(-1)2×(
)2+
=6+6=12.
知识点二 应用性质
=a(a≥0)化简(P4练习第2题拓展)?
【典例2】(2020·攀枝花中考)实数a，b在数轴上的位置如图所示，
化简
的结果是(
)
A.-2
B.0
C.-2a
D.2b
A
【思路点拨】依据a，b在数轴上的位置，判断a+1，b-1，a-b的符号，然后依据二次根式以及绝对值的性质化简即可.
【学霸总结】
性质
=a(a≥0)的推广
当a<0时，-a>0，故
因此
的化简可类比绝对值的性质：
【变式探究】
(2020·新化县期末)已知
(1)求a+b的值；
(2)求7x+y2
020的值.
解：(1)由题意可知：
解得：a+b=2
020.
(2)由于
∴
∴解得：
∴7x+y2
020=14+1=15.
【多维训练】
1.下列等式正确的是
(
)
A.(
)2=3
B.
=-3
C.
=3
D.(-
)2=-3
A
★2.已知1
的结果是(
)
A.2a-5
B.5-2a
C.-3
D.3
★★3.化简：
(3≤x≤5).
解：原式=(5-x)+(x-3)=2.
A
★★4.若实数x，y满足y<
(1)x=_______，y_______；?
(2)化简：
解：(1)x=1，y<1；
(2)原式=(2-y)+(3-2y)=5-3y.
初中阶段所学的代数式主要有：
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、
乘方和开方）把数或表示数的字母连接
起来的式子.
二次根式的性质
性质一
性质二
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
的区别和联系
代数式
技能培优拓思维
【火眼金睛】
如果
=2-x，则x的取值范围是
( )
A.x>2
B.x<2
C.x≤2
D.任意实数
正解：选C.因为
=2-x=-(x-2)，说明x-2是负数或0，
所以x-2≤0，解得x≤2.
【一题多变】
已知x解：∵x=|x-y|+|x+y|
=y-x-x-y=-2x.
【母题变式】
【变式一】(变换条件)已知x为任意实数，化简
解：
=|x-1|+|x+3|.
①当x<-3时，x-1<0，x+3<0，
∴|x-1|+|x+3|=(1-x)+(-x-3)=-2x-2.
②当-3≤x≤1时，x-1≤0，x+3≥0，
∴|x-1|+|x+3|=(1-x)+(x+3)=4.
③当x>1时，x-1>0，x+3>0，
∴|x-1|+|x+3|=(x-1)+(x+3)=2x+2.
【变式二】(变换条件与问法)无论x取任何实数，代数式
都有意义，求m的取值范围.
解：由题意，得x2-6x+m≥0，即(x-3)2-9+m≥0，则(x-3)2≥9-m.
∵(x-3)2≥0，∴9-m≤0，∴m≥9.
故m的取值范围为m≥9.
课时提升作业
二 二次根式(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2020·德州市德城区月考)当a为实数时，
=-a，则a在数轴上对应的点
在
(
)
A.原点的左侧
B.原点或原点的右侧
C.原点的右侧
D.原点或原点的左侧
D
2.(2020·南京雨花区模拟)下列等式一定正确的是
(
)
D
3.实数a在数轴上的位置如图所示，则
化简后为(
)
A.7
B.-7
C.2a-15
D.无法确定
A
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.(2020·昆山市一模)计算
的结果是_______.?
5.若整数x满足|x|≤3，则使
为整数的x的值是________________________
(只需填一个).?
6.(2020·潍坊中考)若|a-2|+
=0，则a+b=______.?
-2
-2或3(填写一个即可)
5
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知一个圆柱体的高为10，体积为V，
(1)求它的底面半径r(用含V的代数式表示)；
(2)分别求出当V=10π和20π时，其底面半径r的大小.
解：(1)根据圆柱的体积公式得V=πr2×10，
所以此圆柱体的底面半径r=
.
(2)当V=10π时，r=1；
当V=20π时，r=
.
8.(8分)阅读材料，解答下列问题.
例：当a>0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a<0时，如a=-6，则|a|=|-6|=6=-(-6)，故此时a的绝对值是它的相反数.
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
|a|=
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
问：(1)请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式
的各种展开的情况；
(2)猜想
与|a|的大小关系；
(3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：
-|a-b|+|c-a|+
.
解：(1)当a>0时，如a=6，
=6，
即
=a；
当a=0时，
=
=0，即
=0；
当a<0时，如a=-6，
=
=6=-(-6)，
即
=-a，
综上所述：
(2)
=|a|.
(3)由数轴可得a原式=-a-(b-a)+(c-a)+(c-b)=-a-b+a+c-a+c-b=-2b+2c-a.
【一道题培优】
9.(10分)设△ABC的三边长分别为a，b，c，试化简
解：由题意，得a+b+c>0，b+c-a>0，a+c-b>0，a+b-c>0，
∴原式=(a+b+c)+(b+c-a)+(a+c-b)-(a+b-c)
=a+b+c+b+c-a+a+c-b-a-b+c=4c.(共32张PPT)
第十六章 二
次
根
式
16.1 二
次
根
式
第1课时
合作探究培素养
知识点一 二次根式的概念(P2内容拓展)?
【典例1】判断下列式子哪些是二次根式.
【思路点拨】根据二次根式的定义，满足二次根式的条件有三个：①含有根号；②根指数是2；③被开方数是非负数.三个条件缺一不可.
【自主解答】(1)∵3>0，∴
是二次根式.
(2)∵-22=-4<0，∴
不是二次根式.
(3)∵(-5)2=25>0，∴
是二次根式.
(4)∵根指数是3，∴
不是二次根式.
(5)∵当a<3时，a-3<0；当a≥3时，a-3≥0，∴
不一定是二次根式.
(6)∵a2≥0，∴2a2+3>0，∴
是二次根式.
【学霸总结】
判断一个式子是二次根式的方法
(1)含有二次根号“
”.
(2)被开方数是非负数(正数或0).
二者缺一不可.
【变式探究】
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
解：(1)
，(3)
，
(5)
(6)
符合二次根式的定义，属于二次根式；
(2)
无意义，不是二次根式；
(4)
中不含有二次根号，所以不是二次根式.
【多维训练】
1.下列各式中，不是二次根式的是(
)
B
★2.(2020·上海市闵行区月考)下列各式中：
一定是二次根式的有______个.?
3
★★3.(概念应用题)判断下列各式，哪些是二次根式？
解：∵x2+2x+1=(x+1)2≥0，
∴
是二次根式；
∵-(2x-1)2≤0，
∴
不一定是二次根式；
当x≤-
时，1+2x≤0，
∴
不一定是二次根式.
故
是二次根式.
知识点二 二次根式有意义的条件(P2例1拓展)?
【典例2】当字母取何值时，下列各式为二次根式？
【思路点拨】二次根式有意义的条件分类：①如果是一个代数式，要求代数式必须为非负数；②含有分母要求分母不为0；③如果以乘积或者除法算式出现，要求两数(式)同号.
【自主解答】(1)由-3x≥0，得x≤0，
故当x≤0时，
是二次根式.
(2)∵当a，b为任意实数时，都有a2+b2≥0，
∴当a，b为任意实数时，
是二次根式.
(3)由
≥0，且2-x≠0，得2-x<0，即x>2，
∴当x>2时，
是二次根式.
(4)由-b2≥0，得b2≤0，
又∵b2≥0，∴b2=0，∴b=0，
∴当b=0时，
是二次根式.
(5)∵x取任意实数时，都有|x|≥0，
∴|x|+2>0，∴
>0，
∴当x为任意实数时，
是二次根式.
【学霸总结】
求字母取值范围的三种类型
(1)二次根式：被开方数为非负数.
(2)分式：分母不等于0.
(3)“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母取值范围的公共部分.
【变式探究】
(2020·哈尔滨市松北区期末)已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b
满足b=
，求此三角形的周长.
解：由题意得，3a-6≥0，2-a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a=2，b=4，
∵2+2=4，∴2，2，4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4=10.
【多维训练】
1.(2020·湖州中考)数4的算术平方根是
(
)
A.2
B.-2
C.±2
D.
A
★2.(2020·黄石模拟)使代数式
有意义的x的取值范围是(
)
A.x≥
B.x=3
C.x≥
且x≠3
D.
≤x≤3
C
★★3.(2020·桂林期末)若y=
，则xy=_______.?
★★4.若a，b都是实数，b=
，则ab的值为______.?
-3
4
二次根式的概念
二次根式
有意义
二次根式的双重非负性
定义
总结二
总结一
相关概念
重点总结
被开方数为非负数.
(a≥0)
二次根式
中,a≥0且
≥0
技能培优拓思维
【火眼金睛】
已知代数式
有意义，求x的取值范围.
正解：若
有意义，则
解得x≥1且x≠±2.
所以x的取值范围是x≥1且x≠2.
【一题多变】
式子
有意义的条件是_______________.?
x≥2且x≠3
【母题变式】
【变式一】使代数式
有意义的x的取值范围是_______________.?
【变式二】使代数式
有意义的x的取值范围是_______________.?
x≥2且x≠3
x≥2且x≠3
课时提升作业
一 二次根式(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2020·贵港市港南区期末)在下列代数式中，不是二次根式的是(
)
D
2.(2020·曲阳县期末)若
和
(x≠0，y≠0)都是二次根式，
则
(
)
A.x>0，y>0
B.x<0，y<0
C.x>0，y<0
D.x<0，y>0
C
3.如果二次根式
是整数，那么正整数n的最小值是
(
)
A.1
B.4
C.7
D.28
C
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.(2020·常德中考)若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围
是________.?
5.使代数式
有意义的整数x有______个.?
6.某工厂要制作一批体积为1
m3的产品包装盒，其高为0.2
m，按设计需要，
底面应做成正方形，则底面边长应是____m.?
x>3
4
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知
=b+8，求a2-b2的平方根.
解：∵
=b+8，
∴a-17≥0且17-a≥0，解得：a=17；
∵a=17，∴b+8=0，∴b=-8，
∴a2-b2的平方根是±
=±15.
8.(8分)已知y=
，且x，y均为整数，求x+y的值.
解：由题意知：20≤x≤30，又因为x，y均为整数，
所以x-20，30-x均是一个整数的平方，
故x只能取21或29，
当x=21时，y=4，x+y的值为25；
当x=29时，y=4，x+y的值为33.
故x+y的值为25或33.
【一道题培优】
9.(10分)先阅读，后回答问题：x为何值时，
有意义？
解：要使
有意义，需x(x-1)≥0，
由乘法法则得
解得：x≥1或x≤0，即当x≥1或x≤0时，
有意义.
体会解题思想后，解答：x为何值时，
有意义？
解：要使其有意义，需
≥0，
解得：x≥2或x<-
，
即当x≥2或x<-
时，
有意义.