人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂线课件（共32张ppt）

第五章 相交线与平行线
5.1.2垂线
第一课时
【学习目标】
1．理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
【课前预习】
1．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（　　）
A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程 D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短
3．下列说法中错误的是（ ）
A．一个锐角的补角一定是钝角；B．同角或等角的余角相等；C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
4．已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离为( )
A．4 cm B．5 cm C．小于2 cm D．不大于2 cm
5．下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的个数为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【课前预习】答案
1．C
2．C
3．D
4．D
5．C
两条直线相交
一般情况
对顶角：相等
邻补角：互补
特殊情况
复习：
B
A
C
D
O
1
2
3
4
导入新课
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
问题1：如右图，
(1)∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
(2)∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题2：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
观察：
两条直线相交形成4个角，若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置：α＝90°.
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当α=90°时，a与b垂直.
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
当α≠90°时，a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
观察思考
)
α
a
b
b
b
b
b
)
α
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
例如、如图，a、b互相垂直，O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
b
a
O
垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直， 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a，
若要强调垂足，则记为：a⊥b，垂足为O.
F
E
M
N
O
记作：MN⊥EF ，垂足为O.
或者MN⊥EF于O
A
B
O
E
记作：AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
∵∠AOD=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直的定义)
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD (已知)
∴ ∠AOD=90°(垂直的定义)
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直的定义的应用格式
∵∠AOC=90°(已知)，
∴AB⊥CD(垂直的定义)．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°(或三个角中的一个角等于90°)，那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD(已知)，
∴∠AOC＝90°(垂直的定义)．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成：
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
A
C
E
B
D
O
1
∴∠EOB=90°(垂直的定义)
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+55°=145°
(
解：
∵AB⊥OE(已知)
∵∠BOD=∠1=55°
例题
例1、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°，求∠EOD的度数.
(对顶角相等)
例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？
想一想做一做
2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B，经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？
想一想 做一做
过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？
二、垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
1.垂线的画法：
问题：
这样画l的垂线可以画几条？
1放、
2靠、
3画线、
l
O
如图，已知直线 l，作l的垂线.
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.垂线的画法：
l
A
如图，已知直线 l 和l上的一点A ，作l的垂线.
B
4画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；
3移：移动三角板到已知点；
2靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上；
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
探究
结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(1)画已知直线l的垂线能画几条？
(2)过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
结论：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条，而且只能作一条.
问题：过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ，作l的垂线，可以作几条？
注意：
过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
总结归纳
1、垂线的定义
2、垂线的画法
3、垂线的性质(1)
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移；四、画
小结：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
【课后练习】
1．点P是直线l外一点，A为垂足，PA⊥l，且PA=5cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于PA=5cmB．等于PA=5cmC．大于PA=5cmD．不确定
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B．两直线相交，对顶角互补C．垂线段最短D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
3．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法中，不正确的是（ ）
A．两直线相交所成的四个角中有两个角相等，则这两条直线互相垂直B．在同一平面内，经过一已知点能画一条直线和已知直线垂直C．一条直线可以有无数条垂线D．在同一平面内，过射线的端点与射线垂直的直线只有一条
5．点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A．4cm B．2cm; C．小于2cm D．不大于2cm
6．已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有(　　)条．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．点A、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为( )
A．2cm B．3cm C．小于3cm D．不大于3cm
8．如图，学校举行运动会，A为主席台位置，对面是观众席，甲、乙、丙、丁四位同学分别坐在观众席的点B，C，D，E的位置上，已知B，C，D，E四点在一条直线上，且AD⊥BE，问距离主席台最近的同学是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．下列说法：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
10．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA，PB，使PA⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB的度数是（　　）
A．50° B．60° C．40°或140° D．50°或130°
11．过直线AB上一点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=50°时，则∠BOD的度数__．
12．运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩．这实质上是数学知识____________在生活中的应用．
13．关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②这两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB．其中正确的有______（填序号）．
14．两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其他3个角也是直角．（______）
15．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝50°时，∠BOD的度数是____________．
【课后练习】答案
1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D
11．40?或140?
12．垂线段最短
13．①③．
14．正确
15．40°或140°