北师大版八年级下册数学 1.3线段的垂直平分线 同步练习（Word版 含解析）

1.3线段的垂直平分线
同步练习
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
2．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（　　）
A．14
B．18
C．23
D．28
3．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（　　）
A．58°
B．63°
C．67°
D．70°
4．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（　　）
A．三角形的高线
B．边的中垂线
C．三角形的中线
D．三角形的角平分线
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）
A．8
B．11
C．16
D．17
6．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（　　）°．
A．90﹣x
B．x
C．90﹣x
D．60﹣x
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（　　）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
8．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为（　　）
A．45°
B．50°
C．65°
D．60°
9．已知△ABC边AB、AC的垂直平分线DM、EN相交于O，M、N在BC边上，若∠MAN＝20°，则∠BAC的度数为（　　）
A．100°
B．120°
C．140°
D．160°
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　）
A．16.5
B．17
C．18
D．20
二．填空题
11．如图，已知△ABC中BC＝10cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，△EAF周长为　
　cm．
12．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB＝3cm，则AC＝　
　cm．
13．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝6，BC＝4，则AF＝　
　．
14．如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为　
　．
15．如图，在△ABC中，AB，BC边的垂直平分线分别交AC于点E，D，若AC＝15cm，则△EBD的周长为　
　cm．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．
（1）若AC＝5，BC＝7，求△ACD的周长；
（2）若∠BAD：∠CAD＝2：1，求∠B的度数．
17．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．
18．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠A＝30°，∠C＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
2．解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝13，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝13+10＝23，
故选：C．
3．解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°，
故选：B．
4．解：三角形的中线平分三角形的面积，
故选：C．
5．解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
6．解：连接PB、PC，
∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴∠PBA＝∠PAB，∠PBC＝∠PCB，PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝x°，∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝∠B，
∴2∠B+2x°＝180°，
解得，∠B＝90°﹣x°，
∴∠DPE＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∴∠1＝180°﹣∠DPE＝90°﹣x°，
故选：A．
7．解：∵DF为AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC，AB+BC＝6，
∴AC+BC＝6，
∴△BCF的周长为6．
故选：D．
8．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∵∠FDA是△ABD的一个外角，
∴∠B＝∠FDA﹣∠BAD＝∠FDA﹣∠CAD＝65°，
故选：C．
9．解：∵DM是边AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B，
同理，∠NAC＝∠C，
则，
解得，∠BAC＝100°，
故选：A．
10．解：在Rt△ABC中，AD＝DB，
∴AB＝2CD＝13，
由勾股定理得，AC＝＝＝12，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+AE＝BC+AC＝17，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴△EAF周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10（cm）．
故答案为：10．
12．解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB＝10cm，
∴AD+CD+AB＝10cm，
∴AC+AB＝10cm，
∵AB＝3cm，
∴AC＝7cm，
故答案为：7．
13．解：连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝6﹣x，BG＝BC+CG＝4+x，
∴6﹣x＝4+x，
解得x＝1，
∴AF＝6﹣1＝5，
故答案为：5．
14．解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
DE＝OD+OE＝3，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝1，
∴CF＝CE﹣EF＝5，
∴BC＝10，
∴BE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
15．解：∵AB，BC边的垂直平分线分别交AC于点E，D，
∴AE＝BE，BD＝CD，
∵△EBD的周长＝BE+DE+BD＝AE+DE+CD＝AC＝15cm，
故答案为：15．
三．解答题
16．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+CB＝5+7＝12；
（2）∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
设∠CAD＝x，则∠BAD＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即x+2x+2x＝90°，
解得，x＝18°，
∴∠B＝2x＝36°．
17．解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°，
∴∠CAE＝71°．
18．（1）证明：连接AC，
∵M是CD的中点，AM⊥CD，
∴AM是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，又AM⊥CD，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；
（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，
∠BAD＝2∠MAN＝140°，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．