九年级下册数学苏科版单元测试卷
第7章 锐角三角函数
时间:90分钟
满分:130分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.sin
30°的相反数是
( )
A.
B.-
C.-
D.-
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=1,则cos
A的值是
( )
A.
B.
C.
D.
3.斜靠在墙上的梯子(长度不变)与地面所成的锐角为∠A,下列叙述正确的是
( )
A.cos
A的值越大,梯子越陡
B.sin
A的值越大,梯子越陡
C.tan
A的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠A的函数值无关
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,=,则下列结论中正确的是
( )
A.sin
A=
B.sin
B=
C.cos
A=
D.tan
B=2
5.在△ABC中,∠A,∠B满足|1-tan
A|+(-2cos
B)2=0,则该三角形为
( )
A.锐角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
6.如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,如果相邻两树之间的水平距离是4米,那么斜坡上相邻两树的坡面距离是
( )
A.4
米
B.2
米
C.4
米
D.2
米
7.如图,已知方格中每个小正方形的边长为1,且△ABC的三个顶点均在格点上,则cos
A的值为
( )
A.
B.
C.
D.
8.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D.若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是
( )
A.4
B.2
C.8
D.4
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=
( )
A.
B.
C.
D.
第9题图 第10题图
10.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心、BC为半径所画的弧交AD于点E,连接CE,作BF⊥CE,垂足为点F,则tan∠FBC的值为
( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题3题,共24分)
11.在Rt△ABC中,cos
A=,那么sin
A的值是 .
?
12.已知α为锐角,且sin(α-10°)=,则α等于 .?
13.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tan
A=,AB=,则BC的长为 .?
14.如图,在△ABC中,∠C=90°.若sin
A=,AC=2,则该三角形的中线BD的长为 .?
15.在等腰三角形ABC中,AB=AC.如果cos
C=,那么tan
A= .?
16.如图,直线AB经过点P(1,2),且与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.若sin∠BAO=,则点B的坐标为 .?
17.在△ABC中,AB=2,AC=3,cos∠ACB=,则∠ABC的度数为 .?
18.如图,要在宽AB为20米的某大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD与灯柱BC之间的夹角为120°,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线(即O为AB的中点)时路灯的照明效果最佳.若CD=
米,为使路灯的照明效果最佳,灯柱BC的高度应设计为 米.(计算结果保留根号)?
三、解答题(共76分)
19.(8分)计算:(1)2tan
30°+(sin
60°)-2-cos
45°;
(2)sin245°+cos245°+tan
60°tan
30°+.
20.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=.
(1)求点B的坐标;
(2)求tan∠BAO的值.
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为边BC上的一点,AB=5,BD=1,tan
B=.
(1)求AD的长;
(2)求sin
α的值.
22.(10分)如图,在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.(≈1.73,≈1.41,结果保留一位小数)
23.(12分)如图,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的点,且OE⊥AC于点E,过点C作☉O的切线,交OE的延长线于点D,交AB的延长线于点F,连接AD.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)若tan
F=,☉O的半径为1,求线段AD的长.
24.(12分)如图,斜坡AP的坡度为1∶2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底部的P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:
(1)坡顶A到地面PQ的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin
76°≈0.97,cos
76°≈0.24,tan
76°≈4.01)
25.(15分)如图,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,过点D作DE⊥AG于点E,过点B作BF⊥AG于点F,设=k.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接BE,DF,设∠EDF=α,∠EBF=β,求证:tan
α=ktan
β;
(3)设线段AG与对角线BD交于点H,△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2,求的最大值.
第7章 综合能力检测卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
C
B
D
C
D
D
11. 12.70° 13. 14. 15. 16.(0,)
17.30°或150° 18.8
1.B 【解析】 ∵sin
30°=,∴它的相反数为-.故选B.
2.A
3.B 【解析】 易知在锐角范围内,正弦值、正切值随着锐角的增大而增大,余弦值随着锐角的增大而减小,所以sin
A的值越大,梯子越陡.故选B.
4.D 【解析】 已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,=,设
BC=x,则AC=2x,所以AB=x.sin
A===,故A选项错误;sin
B===,故B选项错误;cos
A===,故C选项错误;tan
B==2,故D选项正确.故选D.
5.C 【解析】 在△ABC中,∵∠A,∠B满足|1-tan
A|+(-2cos
B)2=0,∴1-tan
A=0且-2cos
B=0,∴tan
A=1,cos
B=,∴∠A=∠B=45°,∴∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选C.
6.B 【解析】 如图,在Rt△ABC中,=,∵AC=4米,∴BC=2米,由勾股定理,得AB==2
米.故选B.
7.D 【解析】 如图,过点B作AC边上的高BD,垂足为D,且方格中每个小正方形的长均为1,∴由勾股定理,得AC==3,AB==.由等面积法可得S△ABC=×2×3=×3·BD,解得BD=.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD==2,所以cos
A===.故选D.
8.C 【解析】 如图,连接OC.∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB,∴∠ACO=90°,AB=2AC.在Rt△AOC中,∵tan∠OAC==,OD=OC=2,∴AC=2OC=4.∴AB=2AC=8.
故选C.
9.D 【解析】 ∵点E是BC的中点,BC=12,∴BE=6.∵四边形ABCD为矩形,AB=8,∴∠B=90°,∴AE==10.由翻折的性质,得∠AEB=∠AEF,BE=EF=CE,∴∠EFC=∠ECF.∵∠BEA+∠FEA=∠ECF+∠EFC,∴∠AEB=∠ECF.∴sin∠ECF=sin∠AEB==.故选D.
10.D 【解析】 连接BE,已知以点B为圆心、BC为半径所画的弧交AD于点E,得BE=BC=5,∵AB=DC=3,BC=AD=5,∴AE===4,∴DE=AD-AE=5-4=1,∴CE===.∵BC=BE,BF⊥CE,∴点F是CE的中点,∴CF=CE=,∴BF===,∴tan∠FBC===,故选D.
11.
12.70° 【解析】 ∵α为锐角,sin(α-10°)=,∴α-10°=60°,∴α=70°.
13. 【解析】 由题意,得tan
A==,∴AC=BC.∵AB=,AB2=AC2+BC2,∴BC2+(BC)2=()2,∴BC=.
14. 【解析】 在△ABC中,∵∠C=90°,sin
A=,∴∠A=60°,∠ABC=30°.又∵AC=2,∴AB=2AC=4,BC==2.∵D为AC的中点,且AC=2,∴CD=1.∴BD==.
15. 【解析】 如图,在等腰三角形ABC中,过点A作AE⊥BC于点E,过点B作BD⊥AC于点D.∵cos
C=,∴=,=.设CD=x,BC=4x,已知AB=AC,∴AE是边BC的垂直平分线,∴CE=2x,∴AC=AB=8x,∴AD=AC-CD=7x.在Rt△ABD中,由勾股定理可知BD=x,∴tan∠BAC==.
16.(0,) 【解析】 如图,过点P作PC⊥OA于点C.∵点P(1,2),sin∠BAO=,∴PC=2,=,OC=1,∴AP=2,∴AC===4,∴OA=OC+AC=1+4=5,∴==,解得OB=,∴点B的坐标为(0,).
17.30°或150° 【解析】 如图,过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ACD中,∵AC=3,cos∠ACD=,∴CD=ACcos∠ACD=3×=2,由勾股定理得,AD==1.当点B在AD左侧时,∵AB=2,AD=1,∴∠ABC=30°;当点B在AD右侧时,则∠AB'D=30°,∴∠AB'C=150°.综上,∠ABC的大小为30°或150°.
18.8 【解析】 如图,延长OD,BC交于点P.∵∠ODC=∠B=90°,∠BCD=120°,∴∠P=30°.又∵OB=10米,CD=
米,∴在Rt△CPD中,DP=DC·tan
60°=3米,PC==2米.∵∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°,∴△PDC∽△PBO,∴=,∴PB===10(米),∴BC=PB-PC=10-2=8(米).
19.【解析】 (1)2tan
30°+(sin
60°)-2-cos
45°
=2×+(×)-2-×
=2+-1
=.
(2)sin245°+cos245°+tan
60°tan
30°+
=()2+()2+×+
=++1+2
019
=2
021.
20.【解析】 (1)如图,过点B作BH⊥OA于点H.
∵OB=5,sin∠BOA=,
∴BH=3,OH=4,
∴点B的坐标为(4,3).
(2)∵OA=10,
∴AH=OA-OH=10-4=6.
在Rt△AHB中,
tan∠BAH===.
21.【解析】 (1)在Rt△ABC中,已知∠C=90°,tan
B==,可设AC=3x,则BC=4x,
∵AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,
解得x=-1(舍去)或x=1,
∴AC=3,BC=4.
∵BD=1,∴CD=3,
∴AD==3.
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E.已知tan
B=,可设DE=3y,则BE=4y,
∵DE2+BE2=BD2,
∴(3y)2+(4y)2=12,
解得y=-(舍)或y=,
∴DE=,∴sin
α==.
22.【解析】 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则∠ACD=60°,∠BCD=45°.
在Rt△BCD中,sin∠BCD=,cos∠BCD=,BC=60海里,∠BCD=45°,
∴BD=BC·sin∠BCD=60×≈42.3(海里),
CD=BC·cos∠BCD=60×≈42.3(海里).
在Rt△ACD中,tan∠ACD=,
∴AD=CD·tan∠ACD≈42.3×≈73.2(海里).
∴AB=AD+BD≈73.2+42.3=115.5(海里).
∴A,B间的距离约为115.5海里.
23.【解析】 (1)连接OC.
∵OC=OA,OE⊥AC,
∴AE=CE,
∴DC=DA,
在△OCD与△OAD中,
∴△OCD≌△OAD,
∴∠OCD=∠OAD,
∵FD切☉O于点C,
∴∠OCD=90°,
∴∠OAD=90°,
∴AD是☉O的切线.
(2)设AD=x,
∵在Rt△OCF中,tan
F==,OC=1,
∴FC=2.
在Rt△ADF中,同理可得,AF=2x,∴FO=2x-1,
在Rt△OCF中,FO2=FC2+CO2,
∴(2x-1)2=5,解得x1=,x2=(舍去),
∴AD=.
24.【解析】 (1)过点A作AH⊥PQ,垂足为点H.
∵斜坡AP的坡度为1∶2.4,∴=.
设AH=5k
m,则PH=12k
m,
由勾股定理,得AP=13k
m.
∴13k=26,解得k=2.
∴AH=10
m.
答:坡顶A到地面PQ的距离为10
m.
(2)延长BC交PQ于点D.
∵BC⊥AC于点C,AC∥PQ,
∴BD⊥PQ,
∴四边形AHDC是矩形,CD=AH=10
m,AC=DH.
∵∠BPD=45°,∴PD=BD.
设BC=x
m,则x+10=24+DH,∴AC=DH=(x-14)m.
在Rt△ABC中,tan
76°=,即≈4.01,
解得x≈19.
答:古塔BC的高度约为19米.
25.【解析】 (1)因为四边形ABCD是正方形,
所以AD=AB,∠BAD=90°,
所以∠BAG+∠DAG=90°,
因为DE⊥AG,BF⊥AG,
所以∠AED=∠BFA=90°,
所以∠ADE+∠DAG=90°,
所以∠BAG=∠ADE,
在△BAF和△ADE中,
所以△ADE≌△BAF(AAS),
所以AE=BF.
(2)易知Rt△BFG∽Rt△DEA,所以=.
在Rt△DEF和Rt△BEF中,tan
α=,tan
β=.
所以ktan
β=·=·=·==tan
α,
所以tan
α=ktan
β.
(3)设正方形ABCD的边长为1,则BG=k,
所以△ABG的面积等于k,△ABD的面积为.
因为AD∥BC,所以△AHD∽△GHB,
所以==k,所以S1=,
所以S2=1-k-=,
所以=-k2+k+1=-(k-)2+≤,
因为0有最大值,最大值为.