人教版 九年级上册24.1.4圆周角（2） 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教版 九年级上册24.1.4圆周角（2） 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 168.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-20 08:37:32 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题
24.1.4圆周角(2)
教科书
书名：《义务教育教科书
数学（九年级上册）》
出版社：
人民教育出版社
出版日期：2014年6月
教学目标
教学目标：掌握圆内接四边形的有关概念及性质，圆内接多边形的概念，能应用圆周角的性质及圆内接四边形的性质,进行计算、证明和探究；渗透“由特殊到一般”的数学思想方法.
教学重点：圆内接四边形的概念及性质.
教学难点：圆内接四边形性质与圆周角性质的综合应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1min
复习回顾
一、定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
及其推论：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等.
2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3min
引入新知
直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
我们来研究“同弦”的情形（
“等弦”与“同弦”类似
）：弦AC所对的圆周角都相等吗？
我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，
∠D，∠E，∠F.
问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.
这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.
问题2:能否用学过的知识加以证明呢？
通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.
∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.
问题3:
∠B与∠D的关系呢？也相等吗？
不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D不相等.
我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.
问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？
它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？
引出圆内接四边形的定义：
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？
5min
探究性质
圆内接四边形ABCD的对角有什么关系？
请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD的对角有什么关系.
可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD的对角互补.
证明：连接OA，OC.
性质：
圆内接四边形的对角互补.
延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.
圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
7min
巩固练习
例1
如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=
，则∠ACB=_______.
变式：
当∠AOB为
时，∠ACB=_______.
当∠AOB为
时，∠ACB=_______.
小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若
练习
如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB=
，则∠ACB=
__________.
下面请同学们试一试这道提高题吧.
例2
如图,在圆内接四边形ABCD中,
(1)求证：
(2)求四边形ABCD的面积.
解答如下：
（1）
证明
证法一：连接BD.
证法二：
=，
四边形ABCD是圆内接四边形，
（2）解：
∵四边形ABCD内接于⊙O.
又
5min
拓展提升
（一）平行四边形
请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？
1.画一个圆；
2.画一条弦AD；
3.画AD的平行线段BC，使BC
=
AD，点B在圆上；
4.平行移动线段BC
，使点C落在圆上.
此时，四边形ABCD即为圆内接平行四边形.
接下来我们看一下演示视频.
观察图形，圆内接平行四边形是矩形.
这是我们的猜想，还需要进行证明.
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴圆内接平行四边形是矩形.
（二）菱形
研究思路与圆内接平行四边形是一样的.
因为圆内接平行四边形是矩形，
菱形是有一组邻边相等的平行四边形，
所以圆内接菱形就是有一组邻边相等的矩形，即正方形.
∴圆内接菱形是正方形.
请同学们课下探究圆内接梯形.
1min
课堂小结
下面我们对本节课所学的知识进行小结，在今天这节课上，我们利用圆周角性质，研究了圆内接四边形的定义、性质及应用.
定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.第二个图不是圆内接四边形，但也是很重要的基本图形.
性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
应用：利用性质进行计算、证明和探究.
1min
布置作业
1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若
，则∠BCD的度数是_________.
2.如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.
求证：AD平分∠EAC.
课题
24.1.4圆周角(2)
教科书
书名：《义务教育教科书
数学（九年级上册）》
出版社：
人民教育出版社
出版日期：2014年6月
教学目标
教学目标：掌握圆内接四边形的有关概念及性质，圆内接多边形的概念，能应用圆周角的性质及圆内接四边形的性质,进行计算、证明和探究；渗透“由特殊到一般”的数学思想方法.
教学重点：圆内接四边形的概念及性质.
教学难点：圆内接四边形性质与圆周角性质的综合应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1min
复习回顾
一、定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
及其推论：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等.
2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3min
引入新知
直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
我们来研究“同弦”的情形（
“等弦”与“同弦”类似
）：弦AC所对的圆周角都相等吗？
我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，
∠D，∠E，∠F.
问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.
这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.
问题2:能否用学过的知识加以证明呢？
通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.
∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.
问题3:
∠B与∠D的关系呢？也相等吗？
不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D不相等.
我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.
问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？
它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？
引出圆内接四边形的定义：
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？
5min
探究性质
圆内接四边形ABCD的对角有什么关系？
请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD的对角有什么关系.
可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD的对角互补.
证明：连接OA，OC.
性质：
圆内接四边形的对角互补.
延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.
圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
7min
巩固练习
例1
如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=
，则∠ACB=_______.
变式：
当∠AOB为
时，∠ACB=_______.
当∠AOB为
时，∠ACB=_______.
小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若
练习
如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB=
，则∠ACB=
__________.
下面请同学们试一试这道提高题吧.
例2
如图,在圆内接四边形ABCD中,
(1)求证：
(2)求四边形ABCD的面积.
解答如下：
（1）
证明
证法一：连接BD.
证法二：
=，
四边形ABCD是圆内接四边形，
（2）解：
∵四边形ABCD内接于⊙O.
又
5min
拓展提升
（一）平行四边形
请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？
1.画一个圆；
2.画一条弦AD；
3.画AD的平行线段BC，使BC
=
AD，点B在圆上；
4.平行移动线段BC
，使点C落在圆上.
此时，四边形ABCD即为圆内接平行四边形.
接下来我们看一下演示视频.
观察图形，圆内接平行四边形是矩形.
这是我们的猜想，还需要进行证明.
证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴圆内接平行四边形是矩形.
（二）菱形
研究思路与圆内接平行四边形是一样的.
因为圆内接平行四边形是矩形，
菱形是有一组邻边相等的平行四边形，
所以圆内接菱形就是有一组邻边相等的矩形，即正方形.
∴圆内接菱形是正方形.
请同学们课下探究圆内接梯形.
1min
课堂小结
下面我们对本节课所学的知识进行小结，在今天这节课上，我们利用圆周角性质，研究了圆内接四边形的定义、性质及应用.
定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.第二个图不是圆内接四边形，但也是很重要的基本图形.
性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
应用：利用性质进行计算、证明和探究.
1min
布置作业
1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若
，则∠BCD的度数是_________.
2.如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.
求证：AD平分∠EAC.
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