课程基本信息
课题
24.2.2直线和圆的位置关系(2）
教科书
书名：
《义务教育教科书?数学（九年级上册）》
出版社：
人民教育出版社
出版日期：2014年3月
教学目标
教学目标：运用圆的切线的判定方法判定直线是否为圆的切线
教学重点：理解并掌握圆的切线的判定方法
教学难点：准确运用圆的切线的判定方法解决问题
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3min
7min
10min
1min
（一）知识回顾，引出问题
（二）
学习新知，总结方法
（三）巩固练习，学以致用
（四）归纳总结，反思提高
（五）布置作业
1.判断直线和圆的位置关系：
直线l和⊙O相交d＜r；
直线l和⊙O相切d＝r；
直线l和⊙O相离d＞r．
2.
直线与圆相切在生活中大量存在，需重点研究
1.
作图：已知，点A为⊙O上的一点，过点A作⊙O的切线.
经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，即d＝r，所以直线l就是⊙O的切线．
2.
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
推理格式：∵
OA
为⊙O半径且OA⊥l于A,
∴
l为⊙O切线.
根据上面的判定定理,如果你要证明一条直线是☉O的切线,你应该如何证明?
应分为两步:(1)说明这个点是圆上的点;(2)过这点的半径垂直于直线.
3.圆的切线的判定方法：
⑴定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
⑵数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
⑶判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1
如图，
AB是⊙O直径，∠ABT=45°,
且AT=AB.求证：AT与⊙O相切.
例2
如图，
直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，
CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
例3
如图，△ABC内接于大圆O，
D是AB中点，
∠B=∠C，以O为圆心OD为半径作小圆O.
求证：AB、AC分别是小圆切线.
当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径，简记为“连半径，证垂直”
；如果直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，简记为“作垂直，证半径”.
小结：
1.直线与圆相切是直线与圆位置关系中最特殊的一种；
2.一般的，当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，应“连半径，证垂直”
，即作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线和圆的公共点没有确定，应“作垂直，证半径”，即应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径.
1.
如图,
A是⊙O外一点,
AO的延长线交⊙O于点C,
点B在圆上,
且AB=BC,
∠A=30°.
求证:直线AB是⊙O的切线.
2.
如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D.
补全图形，判断OA与⊙D的位置关系，并证明你的结论.课程基本信息
课题
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
教科书
书名：
《义务教育教科书
?
数学（九年级上册）》
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2014
年
3月
教学目标
教学目标：1.
理解切线的性质定理；
会运用切线的性质定理进行计算与证明.
教学重点：用切线的性质定理进行计算与证明.
教学难点：用反证法证明切线的性质定理.
教学过程
时间
教学
环节
主要师生活动
2min
活动一：
复习回顾
1.圆的切线是如何定义的?
如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫圆的切线.
2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?
切线的判定方法有三种：
（1）当直线和圆只有唯一公共点的时候，这条直线是圆的切线；
（2）当圆心到直线的的距离等于半径的时候，这条直线是圆的切线；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
文图式经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵OA为⊙O半径，直线l⊥OA于A，
∴直线l与⊙O相切于A.
（直线l是⊙O的切线.）
3.今天我们一起探讨圆的切线有什么性质？
9min
活动二：
探索性质
根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质：(如图)
（1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A
(这个公共点A就是切点)
；
（2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径.
切线的判定定理，实际上可以看成：
①
OA为⊙O的半径（点A在⊙O上），②
直线l⊥OA于A
.
③直线l是⊙O的切线.
（交换判定定理的条件和结论，如果已知直线l是⊙O的切线，下面又可分为“切点已知”和“切点未知”这两种情况分别研究，我们先看“切点已知”的情况）
问1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？
从现有知识看，不具备直接证明垂直的条件，我们可以考虑用反证法.
已知：直线l是⊙O
的切线，切点为A，连接OA.
求证：l⊥OA.
证明：假设OA与直线l不垂直，
则过点O作OM⊥l，垂足为M，
根据垂线段最短，得OM＜OA，
即圆心O到直线l的距离OM＜半径OA.
∴直线l
与⊙O相交，
这与直线l是⊙O的切线矛盾.
∴假设不成立，即l⊥OA.
这样，我们就得到了切线的性质定理：
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
结合图形分析切线性质定理的条件和结论：
文图式圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l与⊙O相切于A，
（直线l是⊙O的切线,点A是切点，）
∴直线l⊥OA.
可以看成：①
OA为⊙O的半径，③直线l是⊙O的切线,
点A是切点
.
②直线l⊥OA于A.
（我们再来看“切点未知”的情况）
问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？
我们过O作直线l的垂线，设垂足是T，也就是OT⊥l于T.
假设切点是A,由切线的性质定理,
过切点A的半径OA⊥l于A，由于“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以垂足T就是切点A.也就是说，过圆心作切线的垂线，垂足就是切点.
由此得到结论1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.
文图式经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.∵直线l与⊙O相切（直线l是⊙O的切线），l⊥OA于A，
∴点A为切点.
实际上可以看成：③直线l是⊙O的切线，②直线l⊥OA于A
.
①OA为⊙O的半径.
问3：请同学们课后研究：结论2:
经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心.
9min
活动三：
性质的应用
例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而由切线的性质，OD是⊙O的半径，因此只需证明
OD
=
OE.
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.
∵OE为⊙O的半径，OE⊥AC于E，
∴AC与⊙O相切.
例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥ED；
（2）若OA
=
AE
=
4，求弦AC的长.
分析：
这里有三个条件：（1）AB为⊙O的直径；（2）D是的中点；（3）ED切⊙O于D.
特别要关注D的作用：它即是弧的中点，又是切点.
（1）证明：连接OC，OD.
∵ED切⊙O于D，
∴OD⊥ED.
∴∠1
=
90°.
∵D是的中点，
∴
=
，
∴∠2
=
∠3，
又∵OA
=
OC，∴OD⊥AC，
∴∠4
=
90°
=∠1，
∴AC∥ED.
（2）连接AD.
∵∠ODE
=
90°，OA
=
AE
=
4，
∴.
又∵OA
=
OD
=
4，
∴△ADO为等边三角形.
由（1）OD⊥AC，设垂足为F，
∴，
在Rt△ADF中，可得，
∴.
2min
活动四：
课堂小结
课堂小结：
1.切线的判定与性质的关系：
(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
①OA为⊙O的半径（A在⊙O上），②直线l⊥OA于A
.
③直线l是⊙O的切线.
(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
①OA为⊙O的半径，③直线l是⊙O的切线
,
点A是切点.
②直线l⊥OA于A.
(3)结论：
结论1:
经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
③直线l是⊙O的切线，②直线l⊥OA于A
.
①OA为⊙O的半径.
结论2:
经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
2.已知圆的切线，要利用切线的性质时常添的常用辅助线：切点的位置如果确定，常常是连接圆心和切点；切点位置如果不确定，可以过圆心作切线的垂线,垂足就是切点.
1min
活动五：布置作业
1.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P,则∠P=_______°.
2.如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O的切线，OC交AB于点C，且∠OCA
=
30°，则OC的长为_________.
3.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB
=
2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.
