2020-2021学年高二数学上学期期末考试不等式专题复习试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若，下列不等式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】若，，则，错误；
，则，错误；
，，则，错误；
，则等价于，成立，正确.
故选：
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.
2.不等式的解集为，函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题知，和1是的两根，
由根与系数的关系知，，
求得：，，所以，开口向下，
令，即，解得两个根分别为-2，1.故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用以及函数与方程的相互转化，考查分析能力与运算能力，属于基础题.
3.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得．
∴不等式为，解得，
∴不等式的解集为．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,注意“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，属于基础题．
4.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（
）
A．如果,那么
B．如果,那么
C．对任意正实数和，有，
当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
【答案】C
【解析】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,故选:C
【点睛】本题考查了均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题.
5.设，则“”成立的必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，解得.
所以，“”成立的必要不充分条件是.故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值不等式与充分条件与必要条件,属于基础题.
6.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为不等式对任意恒成立,
所以，，解得，即实数的取值范围是，故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，注意二次项系数的符号,属于基础题.
7.已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】.
若，则，从而无最小值，不合乎题意；
若，则，.
①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，
当且仅当时，等号成立.
所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选：C.
【点睛】本题考查了基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中档题.
8.
已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】A
【解析】因为，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，由于恒成立，则，即，解得.故选：A
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题,涉及基本不等式求最值,属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】对于A，可得，当且仅当时取等号，正确；
对于B，可得，错误；
对于C，，，则，正确；
对于D，可得，错误；故选：AC
【点睛】本题考查了不等式的性质与基本不等式，属于基础题.
10.下列各函数中，最小值为2的是（
）
A.
B.
，
C.
D.
【答案】BD
【解析】对于选项A.
时，；
∴的最小值不是2；A错
对于选项B.∵，∴；∴，当时取等号；
∴最小值为2；B正确
对于选项C.；∴时，该函数取最小值；C错误
对于选项D.；
∴该函数的最小值为.D正确
故选：BD.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，注意满足的条件,以及利用配方法求函数的最值，属于基本题.
11.已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（
）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是或
D．不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】的解集是，故且，即，
，即，即，解集为，A正确；
，即，即，解集为，
B正确C错误；
，即，即，解集为，
D正确.故选：ABD.
【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，解不等式，考查运算能力和转化能力，确定是解题的关键,属于基础题.
12.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（
）.
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】ABC
【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则解得，.又，故可以为6，7，8.故选:ABC
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集.通过借助一元二次函数图像研究整数解,属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知不等式的解集为，不等式的解集为.若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】
【解析】由不等式，
解得所以不等式的解集为，
即
，
由不等式，解得，所以的解集为，
即，所以，
因为不等式的解集为，所以-1，3是方程的两根，
所以，解得，所以，故答案为：-5
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14.若，，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】若，，
则，当且仅当时，取等号
则的最小值为.故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
15.已知函数
当时，的最小值等于____；若对于定义域内的任意，恒成立，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】当时，，
－3≤x≤0时，f(x)＝（x＋1）2－2，得：当x＝－1时，f（x）有最小值为－2，
0＜x≤3时，f(x)＝－（x－1）2＋1，得：当x＝3时，f（x）有最小值为－3，
所以，当时，的最小值等于－3，定义域内的任意恒成立，
①－3≤x≤0时，有，即：恒成立，
令＝，
在－3≤x≤0时，g（x）有最小值：g（0）＝g（－3）＝1，所以，，
②0＜x≤3时，有，
即：恒成立，令，
在0＜x≤3时，g（x）有最大值：g（）＝，
所以，，故答案为:.
【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围,解题思路及关键
1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min..
3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．属于中档题.
16.若，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】令，则
，，即，
，，，
当取得最小值时，也取得最小值，
又，当且仅当，即时，等号成立，
，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查通过观察分析,将问题与已知条件联系，即令，则已知条件转化为，从而求得关于z的表达式，然后利用基本不等式求最值,属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）若关于的不等式的解集为，
则和1是的两个实数根，由韦达定理可得，
求得.
（2）若关于的不等式解集为，则，或，
求得或，故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了不等式的解法及函数性质考查数形结合思想及数学运算的数学素养，属于基础题.
18.已知函数.
（1）若不等式的解集，为求的取值范围；
（2）当时，解不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）①，即时，解集不是空集，舍去，
②时，即时，，
即，∴，
解得，∴的取值范围是；
（2）∵化简得：，
①时，即时，解集为，
②时，即时，，
，解集为或，
③时，即时，解集为，
∵，∴，
∴，∴解集为.
【点睛】本题考查了含参一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题.
19.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，
所以解得或，
又，所以不等式的解集为
（2）恒成立，即对任意的恒成立，
即，令，，
所以当时，，所以
【点睛】本题考查了函数的最值问题，用到了二次不等式和恒成立问题的转化求解，属于基础题.
20.改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌．40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．扬州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若已知市财政下拨一项专款100（单位：百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），，处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），．
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；
（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?
【答案】（1）；（2）的最大值为47.5（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为30（百万元），70（百万元）.
【解析】（Ⅰ）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，
所以，
∴．
（2）由（1）可得，，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时．
∴的最大值为47.5（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为30（百万元），70（百万元）.
【点睛】本题考查了函数的实际应用问题以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档题.
21.设函数R，R
（1）求不等式的解集；
（2）当，时，记不等式的解集为P，集合若对于任意正数t，，求的最大值．
【答案】（1）当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）．
【解析】（1）由得，即．
当时，不等式可以化为．
若，则，此时不等式的解集为
若，则不等式为，不等式的解集为
若，则，此时不等式的解集为．
当时，不等式即，此时不等式的解集为
当时，不等式可以化为，解集为
综上所述，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为．
（2）集合
又，所以满足当时，函数，即，所以，
，记，此时，
则，
当且仅当，即时，有最大值．
【点睛】本题考查了含参数的二次不等式的求解以及利用不等式求最值，属于中档题.
22.已知a为常数，二次函数.
（1）若该二次函数的图象与x轴有交点，求实数a的取值范围；
（2）已知，求x的取值范围；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】（1）若该二次函数的图象与x轴有交点，则
∴，∴或，
∴a的取值范围为.
（2）∵，
∴即.
当即时，，解集为R；
当即时，或，
当即时，或.
综上，当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）若对任意的实数，恒成立，
即恒成立，
∵，∴，∴.
设，则，
∴.
当且仅当即取“=”，此时，
∴，即a的取值范围为.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式恒成立问题以及基本不等式的应用，考查分类思想，属于中档题.2020-2021学年高二数学上学期期末考试不等式专题复习试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若，下列不等式一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.不等式的解集为，函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
3.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
4.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（
）
A．如果,那么
B．如果,那么
C．对任意正实数和，有，
当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
5.设，则“”成立的必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
6.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
7.已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.若，则（
）
A.
B.
C.
D.
10.下列各函数中，最小值为2的是（
）
A.
B.
，
C.
D.
11.已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（
）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是或
D．不等式的解集是
12.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（
）.
A．6
B．7
C．8
D．9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知不等式的解集为，不等式的解集为.若关于的不等式的解集为，则________.
14.若，，，则的最小值为______.
15.已知函数
当时，的最小值等于____；若对于定义域内的任意，恒成立，则实数的取值范围是____．
16.若，且，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
18.已知函数.
（1）若不等式的解集，为求的取值范围；
（2）当时，解不等式.
19.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围．
20.改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌．40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．扬州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若已知市财政下拨一项专款100（单位：百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），，处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），．
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；
（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?
21.设函数R，R
（1）求不等式的解集；
（2）当，时，记不等式的解集为P，集合若对于任意正数t，，求的最大值．
22.已知a为常数，二次函数.
（1）若该二次函数的图象与x轴有交点，求实数a的取值范围；
（2）已知，求x的取值范围；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围.
