2020-2021学年高二数学上学期期末考试数列专题复习试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．1
D．2
2.数列中，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（
）
A．3
B．6
C．7
D．8
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（
）
A．60里
B．48里
C．36里
D．24里
5.已知数列的前项为和，且，则（
）
A．5
B．
C．
D．9
6.等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则满足的最小的n值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
7.等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8.已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．0
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若?，?，则下列说法正确的是（
）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
10.已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有(
)
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
11.首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列结论成立的有(
)
A．若，则；
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
12.定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（
）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．，，成等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知各项均不相等的数列为等差数列，且，，恰为等比数列的前三项.若，则__________.
14.已知数列满足：，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是______.
15.已知数列的前n项和为，，若数列是公比为2的等比数列.
则数列的通项公式为_______________；若，则数列的前n项和=____________
16.已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在等差数列中，若，.
（1）求数列的公差d及通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
18.已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，_______.
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上述题干中的横线上.求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，求数列的前n项和
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都有.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和.
20.已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列
满足：，当，时，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，证明：.
21.已知为等差数列，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数都不在表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一列
第二列
4
6
9
第三列
12
8
7
请从①，②，③的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在.并在此存在的数列中，试解答下列两个问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和，若不等式对任意的都成立，求实数的最小值.
22.已知为等差数列，前n项和为若，.
（1）求；
（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
①求；
②
记，的前m项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出m，t的值；若不存在，请说明理由.2020-2021学年高二数学上学期期末考试数列专题复习试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设为等差数列的前项和，若，，则（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，即，得，
所以.故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.
2.数列中，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由于，有，且
令，则，即数列是首项为，公比为得等比数列，
所以，故故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列定义，解题的关键是特殊值取法，由的任意性，令，即可知数列是等比数列，考查分析解题能力与运算能力，属于基础题.
3.
已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（
）
A．3
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】因为等比数列，且
，解得，
数列是等差数列，则，故选：D.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项的性质，属于基础题.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（
）
A．60里
B．48里
C．36里
D．24里
【答案】B
【解析】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.
【点睛】本题考查了以数学文化为背景下等比数列前n项和公式，属于基础题.
5.已知数列的前项为和，且，则（
）
A．5
B．
C．
D．9
【答案】D
【解析】当时，，可得；
当且时，，得，故数列为等比数列，首项为4，公比为2.
所以所以.故选D
【点睛】本题考查了由数列前n项和与通项之间的关系求解问题,考查分析解题能力与运算能力,属于基础题.
6.等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则满足的最小的n值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】由已知，由，得，解得，
又.∴，，∴，，
∴化为，∵，∴，
n的最小值为5.故选：C．
【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式以及估值运算,考查分析解题能力与运算能力,属于基础题.
7.等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】由题意可知且,可得,化简为,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时,.选C.
【点睛】本题考查了数列恒成立问题,通过参数分离法结合基本不等式求最值,属于中档题.
8.已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，所以，
令，解得，
所以，其余各项均大于0，
所以.故选：A.
【点睛】本题考查了构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足不等式的项，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若?，?，则下列说法正确的是（
）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】∵，且公比为整数，
∴，，
∴，或（舍去）故A正确，
，∴，故C正确；
∴，故数列是等比数列，故B正确；
而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．故选：ABC.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．
10.已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有(
)
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
【答案】AB
【解析】对于选项A，由已知可得:,,
,则数列为等差数列,则前10项和为.故A正确;
对于选项B，成等比数列,则,即,解得故B正确;
对于选项C，因为所以,解得,故的最小值为7,故C错误;
对于选项D，等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故D错误.故选:AB.
【点睛】本题考查等差数列的性质、裂项相消求、等比中项的概念以及基本不等式求最值,属于基础题.
11.首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列结论成立的有(
)
A．若，则；
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
【答案】BC
【解析】对于选项A，若，则，
那么.故A不正确；
对于选项B，若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为，所以使的最大的为15.故B正确；
对于C，若，，
则选项，，则中最大.故C正确；
对于选项D，若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查等差数列基本量运算以及前n项和，属于中档题.
12.定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（
）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．，，成等差数列
【答案】AC
【解析】由，
得，
所以时，，
得时，，
即时，，
当时，由知，满足．
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，
所以，所以，故C正确．
，，，故D错，故选：AC．
【点睛】本题考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，根据新定义，通过化简得，进而得
，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知各项均不相等的数列为等差数列，且，，恰为等比数列的前三项.若，则__________.
【答案】94.
【解析】，，恰为等比数列的前三项，故，，解得.
，故，，
，即，解得.故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列，等比数列综合应用，考查逻辑推理与数学运算求解能力，属于
基础题.
14.已知数列满足：，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵数列满足：，.
∴，化为，
∴数列是等比数列，首项为，公比为，
∴，∴，
∵，且数列是单调递增数列，
∴，∴，解得；
再由，可得，对于任意的恒成立，∴.
综上得.故答案为：
【点睛】本题考查了构造新数列求数列通项以及数列单调性，再将问题转化为不等式恒成立问题，属于中档题.
15.已知数列的前n项和为，，若数列是公比为2的等比数列.
则数列的通项公式为_______________；若，则数列的前n项和=____________
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴.
∵数列是公比为2的等比数列，
∴，
∴.
当时，，
∴.
显然适合上式，∴.
（2）由（1）知，，
∴，
∴
.
【点睛】本题考查了利用数列前n项和求通项以及裂项相消法求和，考查分析解题能力与运算能力,属于基础题.
16.已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，数列满足，，
则（常数），所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，整理得，
不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，则，
当时，，此时数列为递增数列；
当时，，此时数列为递减数列，
又由，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据等差数列的定义构造新数列求出通项，然后通过研究数列的单调性解决不等式恒成立问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在等差数列中，若，.
（1）求数列的公差d及通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）记数列公差为，则，解得，
∴．
（2）由（1），
．
【点睛】本题考查了等差数列基本量运算以及数列分组求和,属于基础题.
18.已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，_______.
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上述题干中的横线上.求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，求数列的前n项和
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）选①，因为，所以，即，
又数列是公比为2的等比数列所以，解得，
因此.
此时任意，，
由于，所以是数列的第项，
因此数列满足条件P.
选②，因为，即，又数列是公比为2的等比数列，
所以，解得因此
此时，即不为数列中的项，因此数列不满足条件P.
选③，因为，
又数列是公比为2的等比数列，所以1，又，故，
因此.此时任意，，
由于，所以是为数列的第项，
因此数列满足条件P.
（2）根据题意可得，
∴.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求解、判断数列是否满足某种条件，以及裂项相消法求和，属于基础题.
19.设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都有.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）
当时，，，
当时，，
两式相减得，
，则，
两式相减得，即，
因为各项为正，，
当时，则，即，解得，满足，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）可得，
，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
综上，.
【点睛】本题考查了证明等差数列以及并项求和,属于基础题.
20.已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列
满足：，当，时，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，证明：.
【答案】（1）;;(2)证明见解析.
【解析】（1）数列为等差数列，是数列的前项和，且，
设数列的首项为，公差为，则：，解得：，
所以.因为①
所以当
时，.②
①﹣②得：，由于，整理得（常数）.
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以.
证明：（2）由（1）得.所以①，
故②①﹣②得：
.所以
.即.
【点睛】本题考查了等差数列基本量运算、利用数列前n项和求通项以及错位相减法求和，考查分析解题能力与运算能力,属于中档题.
21.已知为等差数列，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数都不在表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一列
第二列
4
6
9
第三列
12
8
7
请从①，②，③的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在.并在此存在的数列中，试解答下列两个问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和，若不等式对任意的都成立，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知为等差数列，由题选择②可成立，
即，，，所以公差，
；
（2），
，
，
两式相减得：，
整理得，
若不等式对任意的都成立，
则，即对任意的都成立，
令，
则，
当时，，可得，
当时，，可得，
则中的最大项为，
，即的最小值为.
【点睛】本题考查了等差数列基本量运算，利用错位相减法求数列和，然后通过研究数列单调性求解不等式恒成立列问题，属于中档题.
22.已知为等差数列，前n项和为若，.
（1）求；
（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
①求；
②
记，的前m项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出m，t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）①；②存在，，理由见解析
.
【解析】（1）设的公差为d，
∴，
，
解得：，，∴.
（2）①
，
∴
，
∵
，∴，∴.
②
由①将∴
由可得：
∴，∴，
∴
，
∵
，∴
时，解得(舍)；
时，解得：(舍)
时，解得：；
所以存在这样的，满足所给的条件.
【点睛】本题考查了数列等差数列的基本量计算以及数列与不等式的综合应用.首先设出公差，列式求解求得，然后通过得，此外，对于探究性问题，一般解法是先假设存在，再根据已知条件推出结论或矛盾，考查逻辑推理与数学运算求解能力，属于中档题.
