2020-2021学年高二数学上学期期末考试
空间向量与立体几何专题复习试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，，，若三向量共面，则实数等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题三个向量共面可设：，则：
得：，解得：，.
【点睛】本题考查了空间向量共面定理，属于基础题.
2.已知空间向量，，且，则（
）
A.
B.
C.
1
D.
3
【答案】C
【解析】因为向量，，且，
所以,解得,故选C.
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及向量垂直的充要条件，属基础题.
3.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
.故选：D．
【点睛】本题考查了空间向量线性表示，属于基础题．
4.平行六面体中，，，，则对角线的长为（
）
A.
B.
12
C.
D.
13
【答案】D
【解析】因为，所以
故选：D
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算以及长度，属于基础题．
5.若直线的方向向量，平面的法向量，则（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】直线的方向向量，平面的法向量
由，则或，故选：D.
【点睛】本题考查了空间向量线面位置关系判定,属于基础题.
6.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在正方体中，为棱的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
，1，，，，，
设异面直线与所成角为，则．
异面直线与所成角的余弦值为．故选：．
【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
7.设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为直线l与平面所成的角是，直线l在内的射影与内的直线m所成角为，
所以由最小张角定理可得，，，
求直线l与直线m所成的角，即是求角，且
由题意，，所以，
因此，即直线l与直线m所成的角是.故选：C.
【点睛】本题考查了理解题中所给最小张角定理，确定三角之间余弦值所满足的关系，考查线线角，线面角的定义，属于基础题.
8.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，与均为直角三角形，且，，，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成的角，则线段PA长的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，设，
则，，
异面直线PQ与AD成的角，
，，
，即，解得，
，可得.故选：C.
【点睛】本题考查了利用向量求解空间角,解题步骤①构建恰当的空间直角坐标系；②求解相关点的坐标；③求出平面的法向量；④运用公式求解,属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】AB
【解析】对于A，由，，所以点P与A，B，C三点共面.
对于B，由，，所以点P与A，B，C三点共面.
对于C，由，，所以点P与A，B，C三点不共面.
对于D，由，得，而，所以点P与A，B，C三点不共面.故选：AB
【点睛】本题考查了空间四点共面的条件，掌握四点A，B，C，P共面的充要条件，考查推理能力与转化思想，属于基础题.
10.以下命题正确是（
）
A.
直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
B.
直线l的方向向量，平面的法向量，则
C.
两个不同平面，的法向量分别为，，则
D.
平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】CD
【解析】对于选项A:，，，
则不垂直，直线与不垂直，故A不正确；
对于选项B:若，则，∴存在实数，使得,无解，故B错误；
对于选项C:，∴，与共线，，故C正确；
对于选项D:点，，，，
向量是平面的法向量，，
即，解得，故D正确.故选：CD.
【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
11.在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（
）
A．=
B．
C．三棱锥的体积为
D．与平面BB′C′C所成的角为
【答案】AC
【解析】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量
，故选项A正确；
在中，，，，
，所以和不垂直，故选项B错误；
在三棱锥中，，
点到平面的距离即中边上的高，所以，
所以，故选项C正确；
设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，
，所以，故选项D错误.故选：AC
【点睛】本题考查了向量的线性运算以及求棱锥的体积和线面角的求法，考查数形结合能力和运算能力，属于中档题.
12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（
）
A．线段上存在点，使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
【答案】BD
【解析】如图，以为坐标原点建系，，为，，轴，
，，，，即
∴，，，
∴，
∴与不垂直，A错误.
，都在，上，又
∴，平面，平面
∴平面，B正确
与不平行，则与的距离相等∴，∴C错误
到的距离就是到平面的距离,到的距离为
∴是定值，D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了空间线面位置关系，空间几何体的体积等，考查空间思维能力与运算能力，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则=_________.（用，，表示）
【答案】
【解析】∵在四面体中，，为的中点，为的中点
∴
故答案为
【点睛】本题考查了空间向量线性表示,属于基础题.
14.已知向量，，若，则实数m的值是________.若，则实数m的值是________.
【答案】
【解析】，，若，则，
解得；若，则，解得.
故答案为：和.
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算以及空间向量位置关系,属于基础题.
15.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.
【答案】14
【解析】如图所示：
过分别作，的高，垂足分别为，，
平面平面，，
平面平面，故平面，
故，，又，故，，两两垂直，
以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则由题意可知：
，0，，，0，，，7，，，0，，
故，7，，，0，，
故，
故答案为：14
【点睛】本题考查了空间向量数量积运算,属于基础题.
16.如图，在直三棱柱中，
，
，已知与分别是棱和的中点，
与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图，以为原点，，
，
分别为，
，
轴
建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
∵，∴，
，
当时，
，当时，（不包含端点故不能取），，
∴长度取值为．
【点睛】本题考查了空间向量长度的取值范围,属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，，E为AC的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）证明：分别取、的中点、，连接、、，
为正三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
同理可得，平面，，、、、四点共面．
等腰梯形中，、分别为、的中点，
，又，，、平面，
平面，
平面，．
（2）由（1）知，平面，
平面，，，，两两垂直，
故以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，1，，，，，，，，
，2，，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查了空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法，考查空间想象、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.如图在直棱柱中，，、AC、的中点分别为D、E、F.
（1）求证平面BEF；
（2）若异面直线与BF所成的角为，且BC与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由直棱柱，可得平面ABC，
又E、F是AC、的中点，，平面ABC，
又平面ABC，，且E是AC的中点，
又，平面BEF.
（2）由（1）知异面直线与BF所成的角为，即，则，
由平面BEF
，知BC与平面BEF所成角为，即，则，设，则
如图，以F为原点建立空间直角坐标系，EC为x轴，EF为y轴，EB为z轴，
，，，，，，
设面的法向量为，则，令，则
设面的法向量为，则，
令，则,
所以二面角余弦值为
【点睛】本题考查了线线垂直与线面角的求法，属于基础题.
19.如图，平面，分别是的中点，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【答案】（1）；（2）．
【解析】以为正交基底建立空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，．
（Ⅰ）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为，．
设平面的法向量为，则，，
即令，解得
所以是平面的一个法向量．
从而
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）因为，设，
又，则，又，
从而
设,
则
当且仅当，即时，的最大值为.
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以
【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成的角、二面角，注意空间角和向量角的区别,
属于中档题.
20.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，．当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，令，则，所以平面的一个法向量，
所以，即直线与平面所成角的正弦值．
（2）易知平面的一个法向量．
设，代入，得，
解得，即，所以，
设平面的法向量，则，
消去，得，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，解得或，因为，所以．
【点睛】本题考查了二面角的平面角的求法、直线与平面所成的角以及利用空间向量求空间角，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，属于中档题.
21.如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，.
（1）若点P为线段EF中点，求异面直线PN与MD所成角的余弦值；
（2）设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为，求的最大值并求出此时点P的位置.
【答案】（1）；（2），与重合.
【解析】据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：
（1）当为的中点时，此时，
所以，所以，
所以异面直线所成角的余弦值为；
（2）设，所以，取平面一个法向量，
设平面一个法向量为，且，
所以，又，
所以，取，所以，
所以，
当时，，
当时，，此时时取最大值，
综上可知：的最大值为，此时与重合.
【点睛】本题考查了用向量方法求解二面角的余弦值,具体步骤如下：
（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应两个半平面中相应点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值,属于中档题.
22.如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.
【解析】（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
∵，∴，令，则，∴
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
，，，∴.
设二面角为，则.
∴设二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，属于中档题.2020-2021学年高二数学上学期期末考试
空间向量与立体几何专题复习试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，，，若三向量共面，则实数等于（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知空间向量，，且，则（
）
A.
B.
C.
1
D.
3
3.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量是（
）
A.
B.
C.
D.
4.平行六面体中，，，，则对角线的长为（
）
A.
B.
12
C.
D.
13
5.若直线的方向向量，平面的法向量，则（
）
A．
B．
C．
D．或
6.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
7.设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（
）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，与均为直角三角形，且，，，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成的角，则线段PA长的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.以下命题正确是（
）
A.
直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
B.
直线l的方向向量，平面的法向量，则
C.
两个不同平面，的法向量分别为，，则
D.
平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
11.在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（
）
A．=
B．
C．三棱锥的体积为
D．与平面BB′C′C所成的角为
12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（
）
A．线段上存在点，使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则=_________.（用，，表示）
14.已知向量，，若，则实数m的值是________.若，则实数m的值是________.
15.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.
16.如图，在直三棱柱中，
，
，已知与分别是棱和的中点，
与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，，E为AC的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.如图在直棱柱中，，、AC、的中点分别为D、E、F.
（1）求证平面BEF；
（2）若异面直线与BF所成的角为，且BC与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
19.如图，平面，分别是的中点，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
20.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值．
21.如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，.
（1）若点P为线段EF中点，求异面直线PN与MD所成角的余弦值；
（2）设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为，求的最大值并求出此时点P的位置.
22.如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
