课程基本信息
课题
锐角三角函数（2）
教科书
书名：义务教育教科书
出版社：北京出版社
出版日期：2019年7月
教学目标
教学目标：
1.认识锐角的余弦、正切的概念，在直角三角形中能利用定义表示三角形的两边比；
2.类比正弦函数的概念的学习，探索余弦函数和正切函数的概念，进一步认识函数，体会函数中变化与对应的思想；
3.通过探究过程，感受数学学科的严谨性，体会获得成功的喜悦.
教学重点：锐角的余弦、正切的概念.
教学难点：运用余弦、正弦的概念进行有关计算.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2
分钟
复习回顾
1.提出问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sin
A，sin
B的值.
2.复习回顾正弦的概念及上节课的研究过程.
8
分钟
探究新知
【问题1】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A取任意一个确定的值时，除了∠A的对边与斜边之比外，还有哪两条边的比是固定不变的值？
除了∠A的对边与斜边，还剩下一条边AC，我们将其称为∠A的邻边.
还有，
这几种情况，因为有互为倒数的关系，因此我们只研究其中的三个比值，即和.正弦我们上节课已经研究过，因此本节课我们主要研究后两种情况.
【推理证明】
类比正弦的证明过程，我们可以利用相似的知识解决.
利用AA相似可以证明三个直角三角形相似，由相似三角形的性质可以得出∠A的邻边比斜边==…，∠A的对边比∠A的邻边==…
我们得出结论，当锐角A取任意一个确定的值时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与∠A的邻边的比是固定不变的值，与三角形的大小无关.
【形成概念】
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos
A
，.与正弦函数类似，cos
A
与∠A满足函数的对应关系，因此cos
A叫做∠A的余弦函数.
我们把锐角A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan
A
，.tan
A叫做∠A的正切函数.
【实践】根据余弦和正切的定义，你能求出30°，45°和60°角的余弦值和正切值吗？
结合图形可得，
【交流】当0°A<90°时，cos
A和tan
A的值是如何变化的呢？取值范围是怎样的呢？
1.cos
A
取值范围探究
（1）猜想：通过三个特殊角的余弦值会发现，∠A的度数由30°到45°到60°越来越大，对应的余弦值越来越小，因此我们猜想∠A变大时，对应的cosA随之变小.
（2）推理证明：
如图，我们仍然可以设斜边的长不变，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的邻边长度变小，那么邻边与斜边的比值也变小，即cos
A随着∠A的变大而变小.
由于，斜边是大于直角边的，即分母永远大于分子，因此这个比值永远小于1.cos
A的范围是0A<1.
2.tan
A
取值范围探究
（1）猜想：通过三个特殊角度发现，∠A的度数变大时，tan
A的值也越来越大，因此我们猜想∠A变大时，tan
A随之变大.
（2）推理证明：
我们仍然可以类比正弦函数和余弦函数的证明，我们可以令邻边AC保持不变，如图，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的对边也在变大，因此对边与邻边的比值随之变大.当∠A趋近于90°时，对边的长趋于无限长，而比值也将趋于无限大.因此，tan
A的范围为tan
A>0.
结论：cos
A随∠A的变大而变小，取值范围为0A<1;
tan
A随∠A的变大而变大，取值范围为tan
A>0.
10
分钟
新知运用
一、基础应用
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请填空.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求以下各图中∠B的余弦和∠A的正切值.
小小结：当直角三角形给出三边时，只需要结合定义求出各角对应的余弦值和正切值即可，但是一定要找准每个角的对边和邻边.
二、典型例题
【例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求cos
B和tan
A的值.
分析：当直角三角形中已知两边时，可以利用勾股定理求出第三边AB=5，再利用余弦和正切的定义即可求解.
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求cos
B和tan
A的值.
分析：已知中给出了∠B的正弦值，根据定义可知，sinB=即已知∠B的对边AC与斜边AB的比值，设AC=3k，AB=5k，由勾股定理可得BC=4k，此时直角三角形的三边用含相同参数的式子表示出来了，再根据定义得，.
小小结：已知两边比值时，我们可以设定参数，利用勾股定理用相同的参数表示直角三角形的第三边，最后.根据定义求值即可.由于三边都有了，因此∠A和∠B的正弦、余弦和正切值我们都可以求出.即给出一个比值，所有角的正弦、余弦、正切都可以表示出来.
小小结：我们再来对比一下两种情况.根据已知条件的不同，一个直接求第三边即可，一个需要用设参法，但相同的地方是都要将第三边表示出来，进而根据定义求值.
【例2】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，，求AB的长.
分析：本题已知了余弦值，让我们求边长.首先还是根据定义可得cos
A=，将式子写出，已知AC的长，因此直接代入即可求AB的长.
小小结：当我们已知一个角的正弦、余弦或正切时，即知道了两边的比值，如果再给出一条相关的边长时，如正弦的相关边长为对边、斜边，余弦的相关边长为邻边、斜边，正切的相关边长为对边、邻边，此时直接根据定义列出边角关系，代入即可求边长.
当然，我们也可以使用设参法解决.设AC=3k，AB=5k，可得3k=6，k=2，AB=10.
小小结：我们的解决过程为根据定义设参，结合已知列方程、解方程，求边长即可.
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，求AB的长.
分析：本题已知BC的长和∠A的余弦，即给出了比值和一条不相关的边长，因此无法用直接代入的方法，此时我们可以用设参法解决.与前面例题类似，设AC=3k，AB=5k，由勾股得BC=4k，结合已知列方程4k=8，最终求得AB=10.
小小结：当已知一个角的正弦、余弦或正切时，即知道了两边比值，如果再已知一条不相关的边长时，我们可以利用设参法解决，根据定义设参，用勾股定理表示第三边，结合已知列方程、解方程，进而可求其他边长.
小小结：结合这两种情况，我们可以得出，一个直角三角形中，只要给出一个角的正弦、余弦或正切值，再给出一条边，我们都可以求出另外两条边的长.不管用的方法是什么，都要牢牢抓住定义，根据定义进行分析.
2
分钟
课堂小结
1.回顾本节课内容，说出你的收获和困惑.
2.从学习过程、收获知识和思想方法三方面进行总结.
本节课我们类比上节课正弦的学习，探究了余弦和正切的概念，，，在应用新知的过程中，我们总结出相应的技巧方法，如已知直角三角形两边时，利用勾股定理求出第三边，再结合定义求解即可；已知直角三角形的一边和正弦、余弦或正切时，我们可以求出其他边长；已知直角三角形一个角的正弦、余弦或正切时，可以通过设参的方法，表示出三边，进而可求比值课程基本信息
课题
锐角三角函数（3）
教科书
书名：义务教育教科书
出版社：北京出版社
出版日期：
2019
年7月
教学目标
教学目标：
1.理解锐角三角函数概念，能够在直角三角形中能分清边、角的对应关系，会利用设参法解题，并能灵活求出锐角三角函数；
2.经历解决求锐角三角函数值的过程，进一步体会数形结合、转化的思想；
3.通过对锐角三角函数知识的变式训练，培养学生形成解题后反思的良好习惯.
教学重点：在直角三角形中，已知一个锐角的三角函数值，求其它锐角三角函数值；
教学难点：通过等角转化，灵活求锐角三角函数值；
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3
分钟
复习回顾
【复习回顾】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知，a=3，b=2，求∠A的正弦，余弦和正切.
回顾一下知识点，正弦、余弦、正切的定义
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵b＝2，a＝3，
∴由勾股定理知，c＝
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝
我们已知锐角的正弦、余弦、和正切都是锐角的函数，我们把这三个函数统称为锐角三角函数
如果把问题改成求∠B的三角函数值，同学们会解决吗？
sin
B＝，cos
B＝，tan
B＝
小结：当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．
15
分钟
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，已知tanA＝，求∠B的三角函数值。
解：
∵tanA＝，
∴.
设a＝3k，b＝2k（k＞0）根据勾股定理，得c＝，
∴sinB=，cosB＝，
tanB＝.
问：∠A的其它三角函数值，你会求吗？
sinA=，cosA=
小结：求锐角三角函数值的一般思路，在直角三角形中，如果已知一个锐角的某个三角函数值，运用设参法，根据勾股定理，用含相同的参数表示三边，再利用定义，即可求出直角三角形中所有锐角三角函数值.
学习了如何在一个直角三角形中求锐角三角函数值后，图形中如果出现多个直角三角形时，我们又该如何解决问题那？
【交流】如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，∠B的三角函数值可以由哪些条线段比表示？
在Rt△ABC中，sin
B=,cos
B=,tan
B=.
在Rt△CBD中，sin
B=,cos
B=,tan
B=.
在Rt△ACD中，，
cos
B=cos∠ACD=，
tan
B=tan∠ACD=.
小结：对比这三组表达式，发现同一个角或相等的角放在不同的直角三角形中求三角函数值，可以得到不同的线段比。从而可以根据题目条件的变化，进行选择，将求锐角三角函数值问题化难为易。
【例2】如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，若AB=16，BC=12.求sin∠DCA和tan∠DCA的值.
解：
∵∠ACB=90°，AB=16，BC=12，
∴AC=.
又CD⊥AB于点D，
∴∠DCA=∠B.
∴sin∠DCA=sin
B=，
tan
B=tan
B=.
小结：通过对例2的探究，我们发现了求锐角三角函数新思路：求锐角三角函数值可以利用求其等角的三角函数值，因为即使在不同的直角三角形中，只要角度相等，其三角函数值相等。
研究完在直角三角形中求锐角三角函数后，我们来看当遇到非直角三角形时，该如何求锐角三角函数那？
【例3】已知：在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，求tan
B和sin
C的值.
解：
作AD⊥BC于点D.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵AB=AC=13，BC=24，
∴BD=CD=12.
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由勾股定理，得.
∴tan
B=
sin
C=sin
B=.
小结：在非直角三角形中，求锐角三角函数时，要先添加辅助线，构造直角三角形，再利用定义求锐角三角函数.
【交流】在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C
的对边.写出由a、c、sin
A组成的三种不同的关系式；
根据定义：sin
A=
利用等式的基本性质：a=sin
A·c、
【课后思考】在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.写出由b、c、cos
A组成的三种不同的关系式；
写出由a、b、tan
A组成的三种不同的关系式；
课堂小结
2
分钟
课堂小结
通过本节课的学习，你有那些收获？
用自己的语言归纳总结本节课的收获
锐角三角函数建立了直角三角形中边和角关系.它刷新了我们对函数的认识，也对直角三角形的认识更加完整了.
3
分钟
巩固练习
已知：在Rt△ABC中，∠BCA
=90°，CD是中线，BC=8，
CD=5．求sin
A、cos∠DCA的值．
解：
∵∠BCA=90°，CD是中线，
∴AB=2CD，CD=AD.
∴∠A=∠DCA.
∵CD=5，
∴AB=10.
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴AC=6
∴
sin
A=
cos∠DCA=cos
A=
