京改版九年级上册20.2 30°,45°,60°角的三角函数值 教学设计

课程基本信息
课题
30°,45°,60°角的三角函数值
教科书
书名：义务教育教科书
出版社：北京出版社
出版日期：
2019
年7月
教学目标
教学目标：
1.熟记
30°,45°,60°角的三角函数值；并能够进行初步的计算。
2.经历推导30°,45°,60°角的三角函数值的过程，进一步体会数形结合的思想；
3.通过计算30°,45°,60°角的三角函数的值和已知特殊锐角的三角函数值，求这个角的度数。在解题过程中，体会成功的喜悦。
教学重点：能够推导30°,45°,60°角的三角函数值，在理解的基础上熟记30°,45°,60°角
的三角函数值。
教学难点：推导30°,45°,60°角的三角函数值；能够根据特殊锐角的三角函数值，反过来，
求这个角的度数。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1
分
钟
一
复习回顾
【复习回顾】三角函数的概念：
;
;
.
15
分
钟
二
探究新知
【学生活动1】
1.提问：请同学们拿出准备好的一副三角板，说出各个角的度数。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°；
在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=∠F=45°.
除直角外的这几个锐角，30°45°60°角的三角函数值各是多少呢？有哪些方法？
度量法：可以用度量法来探究，测量手中这副三角板各边的长度，并利用锐角三角函数的概念来计算每个锐角的三角函数值。
通过测量会发现，得到的结果有的不太一样，但很接近。利用度量的方法得到的结果只是近似值，有一定的误差，是否还可以通过其他的方法解决问题呢？
【设计意图】让学生知道解决数学问题，可以借助实物——三角板，求得30°45°60°角的三角函数值；通过测量发现只是近似值，不够准确；因此采用前面课程学习的设参法先求出三边的含参值，再根据三角函数的概念来求解。
2.以30°角的三角函数值为例：
已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求出30°角的三角函数值.
解：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，30°角的对边等于斜边一半，因此我们不妨设BC=x,则AB=2x,由勾股定理可求出AC=.
这是我们常用的设参方法。
∴
;
;
.
仿照这种方法试着求出60°和45°角的三角函数值，并填写在下面的表格中。
三角函数
3.已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,求60°角的三角函数值.
解：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，30°角的对边等于斜边一半，因此我们不妨设BC=x,则AB=2x,由勾股定理可求出AC=
∴
;
;
.
4.已知：如图,在Rt△DEF中,∠D=90°,∠F=45°,求45°角的三角函数值.
解：在Rt△DEF中,∠D=90°,∠F
=45°∴∠E
=∠F
=45°.
设DF
=DE
=,
由勾股定理得EF
=.
【设计意图】学生经历30°45°60°角的三角函数值的推导过程，体会数形结合的作用，可以辅助加强学生特殊角的三角函数值的记忆。
5.填入表中，并记忆：
三角函数1
结合基本图形辅助记忆
【设计意图】将30°45°60°角的三角函数值整理成表格的形式，可以更好的帮助记忆。
从表格中的数值来观察并思考：这些三角函数值之间有什么关系？
发现随着角度的增大，sinα值的分母没有变化都是2，分子分别可以看成是，.，逐渐增大，因此正弦值随着角度的增大而增大；余弦的情况，余弦值随着角度的增大而减小.正切的情况：我们可以把三个值的分母统一成3，则分子分别为,
3，3，因此正切值是随着角度的增大而增大。
20
分钟
三
例题讲解
例1.求下列各式的值：
（1）;
【设计意图】由于三角函数值在直接记忆的过程中容易混淆，我们可以再次强调利用图形进行记忆并运算。如，我们可以在题的旁边画出含30°、60°角的直角三角形的示意图，并根据三边之间的关系，标出数据，结合图形与概念，直接写出各角的三角函数值并完成运算。
【学生活动2】
学生先独立完成第2题，教师订正并再次强化解题方法：
直接运用熟练记忆的特殊角的三角函数值进行书写，也可以通过含30°和含45°角的直角三角形三边之间的特殊数量关系，画出示意图，并标图，再次强化数形结合的方法记忆特殊角的三角函数值。本题在计算时要让学生特别注意，需要先分别将分子与分母上的式子进行计算，得到，最终结果等于0。
练习1.求下列各式的值：
这里教师提醒学生注意：，读作sin30°的平方；
这里教师提醒学生注意：这个式子中有繁分数，在运算中需要加以注意！
【设计意图】例1和练习1都是已知特殊角的度数，直接利用其三角函数值进行计算。正向进行思维的训练，加强特殊角的三角函数值的记忆。
三
例题讲解
例2.求适合下列条件的锐角ɑ.
【设计意图】例2与例1
的不同之处在于∠α的度数是未知的，需要我们通过题目的特征求出这个角的度数。解决这类问题，需要通过移项、系数化1等方式，将等式转化成一个锐角的三角函数等于一个具体的值的形式，再根据值的特殊性求出锐角的度数。本题让学生体会熟记特殊角的三角函数值的重要性，数形结合的记忆方式可以降低我们记忆的失误，减少问题的出现。因此要让学生心中有图，图上有数，通过题目强调数形结合的重要性。
例3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
AC=,求AB和BC的长.
解：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
AC=，
或
或
也可以先利用30°角的正切求出BC的长，再利用30°角的余弦或者勾股定理或者30°角的直角边等于斜边的一半求AB的长.
【设计意图】强化解题步骤，仍然需要利用数形结合的方法。通过分析我们发现，要想快速准确的解决问题，需要画图、标图，根据已知和未知找到他们之间存在的关系利用三角函数及特殊角的三角函数值很容易可以解决问题。
练习2.
已知，如图，在RtΔABC中，∠C=90°,BC=4
，AB=8，求∠A的度数.
解：在RtΔABC中，∠C=90°,BC=4
，AB=8，
或
【设计意图】解题前，需再次强调标图的重要性，找到已知和未知的关系，让学生体会不同的解题方法，找到适合自己的最简方法。
小结：
三角函数
一条边的值
角
两边之比
其它两边的值
四
课堂总结
三角函数1
五
课后作业
1.已知，如图，在RtΔDEF中，∠D=90°,DE=3
，EF=，求∠F的度数和DF的长度.
教材：83页练习：第1、2题；
教材：87页拓展：求tan15°的值。