京改版九年级上册20.4解直角三角形(2) 教案

课程基本信息
课题
解直角三角形（二）
教科书
书名：义务教育教科书
出版社：北京出版社
出版日期：
2019
年7月
教学目标
教学目标：
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2.通过综合运用上面知识解直角三角形的过程，逐步培养分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想。
3.在解题过程中，体会成功的喜悦。
教学重点：能够理解直角三角形的意义以及一般方法。
教学难点：灵活运用所学知识，选择合适的方法解直角三角形。
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3
分
钟
一
复习回顾
【复习回顾】
根据上节课的学习，我们知道由直角三角形中，除直角外的两个已知元素，其中至少一个是边，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形，根据已知条件，如何解直角三角形呢？
一
知识概要：
1．直角三角形的两锐角互余。
2．勾股定理。
3．三角函数：
;
;
.
二
解直角三角形基本方法
1．已知一个锐角和一条边。
2．已知的是两条边。
7
分
钟
二
例题讲解
【典型例题】
例1
如图在直角三角形ABC中，∠C等于90度，a等于10。
三角形ABC的面积等于
，解这个三角形。
解决问题的关键在于抓住题目中的三角形面积，等于如果把三角形的面积，转化为边的条件就利于我们将所求和已知建立联系，根据三角形面积公式得到AC的长度。综上，我们将已知一边和面积的解直角三角形问题转化为已知AC、BC两条直角边的解直角三角形问题
【设计意图】学生经历转化的推导过程，体会在直角三角形的背景下，如果解直角三角形的直接条件不足，那么我们需要利用其他条件转化补足条件，进而解直角三角形。
11
分
钟
例题讲解
【典型例题】
例2如图，在三角形△ABC中，AB=
AC
，∠A=120°，BC=4cm。求AB的长.
方法一：
分析，在△ABC中，AB=
AC
，∠A=120°，这是重要的等腰三角形基本图形.由等边对等角我们容易得出∠B=∠C,由∠A=120°，我们可知∠B=30°,解决问题的关键在于抓住角B等于30度，能够把30度的∠B放到直角三角形当中就利于我们把所求和已知建立联系。所以过点A作AD
垂直BC
于点D，在等腰三角形ABC当中构造直角三角形ABD，从而将求AB长的问题转化为解直角三角形ABD的问题。
解题过程：
过点A作AD⊥BC交BC于点D.
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴BD=
,
∵BC=4，
∴BD=2
在Rt△ABD中，
∵cosB=
∴AB=
∴AB=
【设计意图】在本题的分析过程中，我们在等腰三角形ABC中，
通过过点A做BC垂线的方法构造了直角三角形ABD，从而把求线段AB长的问题转化为求解直角三角形ABD的问题。本题要点是围绕AB构造直角三角形。观察图形在AB等于AC条件下。根据等腰三角形三线合一性质，以AB为斜边构造直角三角形。
方法二：
我们来进一步拓展，刚才我们是围绕AB，以AB作为斜边进行构造，我们还可以围绕BC,以BC作为斜边构造直角三角形解决问题。例如，过点B作BE⊥CA交CA的延长线
于点E，构造直角三角形EBC。根据分类讨论思想，我们还可以过点C作CF⊥BA交BA的延长线
于点F，构造直角三角形FBC。
具体解题过程：
解：过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E.
在△ABC中
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴∠EAB=60°
∵BC=4
在Rt△EBC中，
∵sinC=
,
∴BE=BCsinC
∴BE=2
在Rt△EAB中，
∵sin∠EAB=
∴AB=
∴AB=
方法三：
以BC作为斜边构造直角三角形解决问题。在直角三角形中BC还可以作为什么边呢？BC还可以作为直角边。下面我们以BC作为直角边进行构造直角三角形解决问题。
过点B作BG⊥BC交CA的延长线
于点G，构造直角三角形GBC。根据分类讨论思想，我们还可以过点C作CH⊥BC交BA的延长线
于点H，构造直角三角形HBC
具体解题过程：
解：过点B作BG⊥BC交CA的延长线于点G.
在△ABC中
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠GAB=60°
∠GBA=60°
即△GBA是等边三角形
∴AB=BG
在Rt△GBC中，
∵tanC=
,
∴BG=BCtanC
∴BG=
∴AB=
【设计意图】通过对例二的探究，我们进一步拓广了解题思路与方法。如果说例1我们积累的内容是可以转化为边的条件和可以转化为角的条件，那么例2的积累就是围绕线段构造直角三角形方法的积累，例二中的等腰三角形也是解直角三角形中的基本图形。扎实的积累，会为将来我们引入四边形，圆等背景时解决更为复杂的综合题目打下坚实的基础。通过例2的三种解题思路，我们的思路大致分为两类：
一是围绕所求边构造直角三角形解决问题。
二是围绕已知边构造直角三角形解决问题。
1分钟
三
课堂总结
我们解直角三角形最终都会化归为基本方法，解题方法可选的比较多，同学们心中有方向，认真思考题目中所给的已知条件，采用步骤简单，计算简便的方法解决，体现数学的简洁之美！
学好解直角三角形，要注意积累。我们要想利用解直角三角形的方法求未知元素，可以针对未知元素进行分类讨论。
如果未知元素存在于直角三角形，有条件，直接根据基本方法解直角三角形，如果无条件则应根据已知转化为有条件，进而解直角三角形。如果未知元素不存在于直角三角形，则应围绕未知元素，构造直角三角形。再解这个直角三角形。
四
课后作业
作业：
1.在△ABC中，AB=
100
，∠BAC=45°,∠ACB=30°.
求AC
，BC的长及S△ABC.
2.请同学们通过今天的学习，结合以往的经验，总结解直角三角形的解题方法.