课程基本信息
课题
圆的对称性（1）
教科书
书名：数学
出版社：
北京出版社
出版日期：
2015
年
7月
教学目标
教学目标：
1.通过学习充分认识圆的轴对称性，掌握垂径定理及推论.
2.通过经历探索过程和应用，提高动手实践、观察分析、解决问题的能力.
3.通过经历探索过程，体验成功的快感，培养主动提出问题、解决问题的意识.
教学重点：垂径定理及其应用.
教学难点：垂径定理的探究及对定理的题设、结论的区分.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2’
实验引入
二、新授
（学生准备一个无圆心的圆）
一、实验引入
问：1.圆具有哪种对称性？
2.你怎样操作能说明圆具有轴对称性？
3.任意一组对称点连线是什么？它与对称轴有什么关系？
二、新授
1.探究定理
活动（1）
问：①如图，⊙O中，A、B两点在圆上，怎样确定AB的中点？怎样说明作法的正确性？
预案：学生应能想到作垂直于弦的直径，并利用“三线合一”定理进行证明.
时间
教学环节
主要师生活动
3’
5’
②这条垂直于弦的直径，除了平分这条弦，还有其它作用吗？
预案：学生可能不能想到平分弦所对的两条弧，故应利用轴对称性引领学生思考.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵CD是⊙O的直径，
CD⊥AB，
∴AE=BE，
小结：(1)通过垂径定理可证得等线段、等弧.
（2）在垂径定理中，是已知①直径、②垂直于弦，得到③平分弦、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧，知二得三，如果将已知、未知中的条件重新排列组合，其它的知二得三的结论还是真命题吗？
垂径定理：已知①②得③④⑤
变式：
已知①③得②④⑤
已知①④得②③⑤
已知①⑤得②③④
已知②③得①④⑤
已知②④得①③⑤
已知②⑤得①③④
已知③④得①②⑤
已知③⑤得①②④
已知④⑤得①②③
活动（2）已知：CD是⊙O的直径，与弦AB相交于点E，且点E是AB的中点，求证：CD⊥AB，
预案：学生应能根据“三线合一”定理证得直径垂直于弦，及圆心角相等，进而证的弧相等.但不会主动想到被平分的弦是直径的问题，故应问：如果被平分的弦是特殊的弦——直径，前面的结论还成立吗？
得
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：∵CD是⊙O的直径，
AE=BE，
∴CD⊥AB，
时间
教学环节
主要师生活动
3’
5’
1.5’
三、课堂练习
四、小结
小结：通过此推论可证得两直线互相垂直、等弧.
活动（3）已知：CD是⊙O的直径，与弦AB相交于点E，且点D是弧AB的中点，求证：CD⊥AB，点E是AB的中点，点C是弧ACD的中点.
预案：学生们很难想到等弧的用法，故应引领学生分析，由等弧可得到的结论，即：在半径相等的情况下得到两弧所对的圆心角相等，进而证得其它结论.
因为时间问题，其它命题请学生课下证明.
2.定理应用
例1、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，且AB=6，OE=4，求⊙O的半径.
预案：学生应能想到解法，算出结果，但解答过程可能不够规范，所以需要规范解答过程.
小结：在应用垂径定理进行计算时，经常利用半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半围成一个直角三角形，进而应用勾股定理等直角三角形性质完成,所以补全直角三角形是常用辅助线.
三、课堂练习
1.在⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，且D是OC的中点，AB=6，求⊙O的半径.
2.如图，在⊙O中，点D是AB的中点，OC=5，CD=2.求弦AB的长.
四、小结
收获与体会
垂径定理及推论：
垂径定理：直径（过圆心）+垂直于弦?平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧.
推论：直径（过圆心）+平分弦?垂直于弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧（被平分的弦不是直径）.
常用图形：由半径、弦心距、弦的一半围成的直角三角形.
时间
教学环节
主要师生活动
0.5’
五、
布置作业
常用辅助线：
(1)连接半径；
(2)过圆心作弦的垂线段（弦心距）；
(3)垂直于弦的半径或直径.
4.学习体会：请同学们写一写探究几何问题的收获与体会.
五、布置作业
A组：（写解答过程）
1.已知如图，⊙O的直径AB=15,弦CD⊥AB于点E，BE=3，那么CD的长为__________.
2.已知：CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，AE=BE,AB=6,CE=1,那么⊙O的半径长为_______.
B组：
1.已知：CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，AE=BE，CD=8，CE=2，那么AB的长为________.（写解答过程）
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，试比较AC与BD长度的大小，并说明理由.
注：请B组同学完成垂径定理的另外7个变式命题的证明.课程基本信息
课题
圆的对称性（2）
教科书
书名：
义务教育教科书
数学
九年级
上册
出版社：北京出版社
出版日期：2015
年
7月
教学目标
教学目标：
1、了解圆是中心对称图形，并能通过观察，实验探索出在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦之间的关系.
2、能够应用圆心角，弧，弦之间的关系解决有关证明和计算问题，在运用中感悟转化的数学思想，获得分析和解决问题的方法.
3、通过观察，发现，探究数学问题，激发学生对数学的好奇心和求知欲.
教学重点：掌握圆心角，弧，弦之间的关系.
教学难点：圆心角，弧，弦之间的关系的探索及其应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3min
8min
2min
2min
2min
2min
1min
1min
一、复习回顾
二、
探究新知
三、拓展练习
四、归纳总结
五、课后作业
一、复习回顾.
【活动一】
如图，等边三角形、平行四边形、正方形、圆是轴对称图形的是（
）.
【活动二】
如图，等边三角形、平行四边形、正方形、圆是中心对称图形的是（
）.
【活动三】
如图，等边三角形、平行四边形、正方形、圆分别绕着点O旋转任意角度后，能与原图形重合的是（
）.
学生动手操作并思考.
小结：
是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴.
圆的对称
是中心对称图形，圆心是对称中心.
圆绕着圆心旋转任意角度后，旋转后的图形都能与原来的图形完成重合.
设计意图：在动手操作的过程中感受轴对称图形及中心对称图形的特点，并进一步感受圆与其他三种图形的不同点：圆绕着圆心O点旋转任意角度后都可以和原图形重合，突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来的图形重合的局限性，从而得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.同时为后面研究三量关系做准备.
二、探究新知.
【活动四】
问题1：在⊙O上画出两个圆心角∠AOB、∠，使∠
AOB
=∠,连接AB、.弦AB与有什么关系？与有什么关系？为什么？
分析：在△AOB和△中，∠AOB=∠，半径OA=OB
==，通过SAS可判定△AOB≌△，
因此得到对应边AB
=.在同圆或等圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，因此在⊙O中，∠AOB和∠所对的两条优弧和劣弧分别相等，即=.
预案：学生尝试分析，证明全等，得出结论.
由此我们可以得到以下结论：
符号语言：∵在⊙O中，∠AOB=∠.
∴AB=
，
=.
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
设计意图：通过学生动手画图，操作，理解在同圆或等圆中，两个相等的圆心角可以转化为对应的两条相等的弧或弦.初步感受圆心角与弧，弦之间的关系.
思考：那么类似的，如果已知弧相等，或弦相等，能不能得到对应的圆心角相等呢？
问题2：已知:点A、B、、在⊙O上，且=
，
求证：
∠AOB=∠
，
AB
=.
我们先来看已知弧相等，在⊙O中，已知=，在同圆或等圆中，两弧所对的圆心角相等，即∠AOB=∠，利用SAS判定△AOB≌△，对应边相等，即弦AB=.因此我们可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
符号语言：∵在⊙O中，=.
∴AB
=
∠AOB
=∠
.
同理，在⊙O中，已知弦AB=,如何证明∠AOB=∠呢？
问题3：已知:点A、B、、在⊙O上，且AB
=，求证：
∠AOB=∠，=
.
当然也可以通过SSS证明△AOB
≌△，来得到圆心角相等.有了圆心角相等，=也就有了.
所以：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等.
符号语言：∵在⊙O中，AB=.
∴=∠AOB
=∠.
教师追问：如果不在同圆或等圆中，这三个量的关系还成立吗？
预案：学生讨论，举出反例说明前提条件的必要性.
综合上诉结论，我们可以得到：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
设计意图：明确三量关系中，知一可得二.也进一步明确三量关系中的前提“同圆或等圆中”不可丢，体会前提条件的必要性.
【活动五】
例1：已知：如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点.试判断四边形AOBC的形状，并说明理由.
分析：将两条弧相等转化为两个圆心角相等.连接OC，从而得到两个等边三角形，△AOC和△BOC，由四条边相等的四边形是菱形判定出四边形AOBC的形状.
设计意图：感受弧与圆心角之间的转化，使学生对文字语言，图形语言，符号语言三种语言间的转换加以训练.
【活动六】
例2：已知，如图，B，C是以AD为直径的⊙O上的两点，且OC∥BD.
求证：AC=CB.
分析：将两个圆心角相等转化为两条弦相等.连接OB，△OBD是等腰三角形，由等边对等角得∠OBD=∠ODB，由平行得同位角∠ODB=∠
1，内错角∠OBD=∠
2，最终推导出∠
1=∠
2.
设计意图：活动五的变式练习，将已知中弧的中点改为一组平行，使学生感受圆心角与弦之间的转化，尝试应用圆心角，弧，弦之间的关系解决实际问题，并体会添加辅助线在问题解决中的作用.
三、拓展练习.
【活动七】
1.如图，在⊙O中，AB是直径，点C和点D是⊙O上两点，且弦BC=CD=DA，则∠BCD=（
）.
分析：连接OC，OD，通过将弦相等转化为同心角相等，
得到3个60°的圆心角，从而得到△BOC，△COD，
△AOD三个等边三角形，而∠BCD=∠BCO+∠DCO
=120°.
设计意图：在解决问题的过程中，感受弦与同心角的转化，进一步熟练应用三量关系定理解决问题，提高学生分析问题，解决问题的能力。
【活动八】
2.如图，在⊙O中，如果=
2，那么BC
2AC.
(填“>”、“<”或“=”)
分析：将两条弧相等转化为两条弦相等，取中点D，得到相等的三条弧，对应的三条相等的弦，再利用三角形的三边关系，得到BC
<
CD
+
BD，即BC
<
2AC.
设计意图：通过分析问题，解决问题，感受弧与弦之间的转化.进一步理解三量关系定理.
四、归纳总结.
1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心.圆具有旋转不变性.
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的各组量都分别相等.
3、已学过的证明弧相等的方法：根据定义，证明两条弧重合；利用垂径定理；利用圆心角，弧，弦的三量关系定理.
设计意图：对本节课所学的知识点进行总结，对已学过的证明弧相等的方法进行归纳，培养学生归纳总结的意识.
五、课后作业.
A组：
1.圆既是
图形，又是
图形.
2.已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么
；
（2）如果=,那么
；
（3）如果∠AOB=∠COD,
那么
.
B组：
1.如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作
⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，
判断和是否相等，并说明理由.
设计意图：设计分层作业，使不同层次的学生都能够应用圆心角，
弧，弦之间的关系解决一些问题，在运用中感悟转化的数学思想，
获得分析和解决问题的方法.
