课程基本信息
课题
圆的切线(2)
教科书
书名：义务教育教科书
数学
九年级
上册
出版社：北京出版社
出版日期：
2015年7
月
教学目标
教学目标：1.通过探索切线的性质，掌握切线的性质定理，并能应用性质解决和圆的切线有关的问题.了解反证法证明命题的一般思路和基本步骤.
2.经历观察、猜想、证明等探究活动，感受研究数学问题的一般思想方法，提升综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，提升逻辑推理能力.
3.提升用数学眼光发现问题、解决问题的能力,积累数学活动经验,养成良好的学习习惯,形成严谨求实的科学态度.
教学重点：切线的性质定理及定理应用.
教学难点：反证法证明切线性质定理.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3
分钟
8
分钟
7
分钟
2
分钟
1
分钟
1
分钟
复习回顾
探究新知
巩固新知
总结提升
课后巩固
一、复习回顾：
（一）直线和圆的位置关系：
根据直线和圆公共点的个数将直线和圆的位置关系分为三种：
直线与圆有没有公共点时，称这条直线和这个圆相离；
直线与圆有唯一公共点时，称这条直线和这个圆相切；
直线与圆有两个公共点时，称这条直线和这个圆相交.
相离d>r.
相切d=r.
相交d（二）切线的判定方法：
1.根据切线的定义：
当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切.这条直线叫做圆的切线.
2.圆心O到直线l
的距离d
等于圆的半径r
时，直线l与⊙O相切.
即：直线l与⊙O相切d=r.
3.切线的判定定理：
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
符号语言：
∵OA是⊙O的半径，
直线l经过点A且l⊥OA.
∴直线
l是⊙O的切线.
通常用法：
连半径，证垂直，得切线；作垂直，证半径，得切线.
二、探究新知：
（一）探究切线的性质：
问题1：指出切线判定定理的题设和结论.
题设：一条直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径.
结论：这条直线是圆的切线.
问题2：写出切线判定定理的逆命题.
逆命题：如果一条直线是圆的切线，那么这条直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径.
问题3：切线的判定定理的逆命题是真命题吗？如果是真命题，写出已知和求证.
已知：直线l与⊙O相切于点A.
求证：l⊥OA.
问题4：如何证明这个猜想？
分析：根据已有学习经验我们知道：要证明两条直线垂直，通常应该证明这两条直线相交成角是直角.而根据已知条件发现：由直线l与⊙O相切于点A，可以得到的结论是直线l与⊙O只有一个公共点A，并且圆心到直线距离等于半径OA，而无法得到l与OA相交成角是否是直角，也就不能说明l与OA垂直.对于这种直接证明很难的问题，我们可以尝试用反证法证明.
问题5：回忆反证法证明命题的一般步骤并完成证明.
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、定理或题设相矛盾的结论；
（3）由此判断假设不正确，从而肯定原命题的正确性.
具体证明过程如下：
证明：假设直线l与OA不垂直.
过点O作OC⊥l
，垂足为C.
∵OC⊥l，
又∵垂线段最短，
∴OC
<
OA，
即圆心到直线l的距离小于半径，
∴直线l
与⊙O相交.
这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾.
∴
l⊥OA.
（二）归纳切线的性质定理：
切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴
l⊥OA.
用法：知切线，连半径，得垂直.
（三）归纳切线的性质：
1.定义：
当一条直线与一个圆相切时，这条直线和这个圆有唯一公共点.
2.定义引申：
一条直线是圆的切线，圆心到这条直线的距离等于半径.
即：直线l与⊙O相切d=r.
3.切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
三、巩固新知：
（一）典例分析：
例：已知：如图，AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，
C为切点，AD⊥CD，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB
.
分析：
首先思考由题中的每一个已知条件都能得到哪些结论,哪些结论对于解决本题有用.其次思考要得到AC平分∠DAB这个结论需要哪些条件，这些条件是否可由已知得到.引导学生理解两种分析问题的思路：由因导果，执果索因.
方法一：
连接OC，得OC⊥CD.
由AD⊥CD，得AD∥OC，得∠1=∠3.
由OA=OC，得∠1=∠2.所以∠2=∠3得证.
方法二：
连接OC，得OC⊥CD.所以∠1+∠4=90?.
因为AD⊥CD所以∠4+∠3=90?.
由同角的余角相等得∠1=∠3.
由OA=OC，得∠1=∠2.所以∠2=∠3得证.
反思：
1.解决本题的关键是连接经过切点的半径，由切线的性质
定理得到垂直.即：知切线，连半径，得垂直.
2.在解决圆的问题时要特别关注由半径相等得到的等腰三角形，如本题中OA=OC，所以△OAC为等腰三角形.
3.关注常用基本图形：
(1)平行、等腰、角平分线.
(2)有垂直就有互余关系.
（二）巩固练习：
已知：如图，P是⊙O
的直径CD的延长线上的一点，
PA与⊙O相切于点A，∠P=30?.
求∠ACP度数.
分析：
连接OA，由PA与⊙O相切于
点A可以得到OA⊥PA.
所以△PAO为直角三角形，
由OA=OC，得△OAC为等腰三角形.
再利用三角形的相关知识很容易解决问题.
反思：
切线的性质是得到直角的重要依据，进而可以和平行线、等腰三角形、直角三角形等知识结合.
四、总结提升：
（一）知识方面
1.切线的性质定理是切线的判定定理的逆定理.
判定定理：连半径，证垂直，得切线；
作垂直，证半径，得切线.
性质定理：知切线，连半径，得垂直.
2.
关注圆的切线与其它几何知识的综合应用，解决和圆有关的问题.
（二）方法方面
1.能在复杂图形中辨识出基本图形，解决相关问题.
2.能够用两种分析方法灵活分析解决问题.
五、课后巩固：
课后作业分为两个层次，可依据自身情况选择完成.
A层：
1.请你归纳总结圆的切线的有关知识，并画出知识框图。
2.已知：如图，⊙O
的半径为2cm，P是直径CD的延长线上的一点，
PA与⊙O相切于点A，∠P=30?.求线段PD的长.
B层：
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，C为切点，判断AC与BC是否相等，并说明理由.
2.已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E，如果正方形的边长为2，求⊙O的半径.
6课程基本信息
课题
圆的切线（4）
教科书
书名：义务教育教科书数学九年级上册
出版社：
北京出版社
出版日期：
2015年
7月
教学目标
教学目标：1.经历用尺规作三角形内切圆的过程，理解三角形内心的概念.
2.理解三角形的内切圆和圆的外切三角形的概念，并对三角形的内心和外心相关知识作比较.
3.通过例题的分析与解答，提升学生应用数学知识的能力，积累数学活动经验.
教学重点：三角形内切圆的概念和内心的性质的探索与应用.
教学难点：三角形内切圆的尺规作图方法的探索.
教学过程
时间
教学
环节
主要师生活动
2
分
钟
一、复习
引入
教师：同学们，大家好!前面我们学习了圆的切线和切线长定理，下面同学们和老师一起来复习一下：
1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
符号语言：
∵直线CB过半径OD的外端D点，OD⊥CB,
∴直线CB与⊙O相切于点D.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：
∵直线CB与⊙O相切于点D.
∴OD⊥CB于点D.
8分
钟
二、探索
新知
3.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号语言：
∵BA、BC分别切⊙O于点F、D,
∴BF＝BD,OB平分∠ABC.
教师：切线长定理为我们解决有关线段和角的问题提供了新的方法.
今天，我们继续对圆的切线进行研究.
(一）解决问题：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积最大呢？
教师提问：
问题1.若想裁得的圆最大，它与三角形三边
应有怎样的位置关系？
学生尝试、讨论并回答（如右图）：
最大的圆与三角形三边都相切.
问题2.
如何帮助小明操作呢？也就是如何用尺规作图作出一个圆，
使它与已知三角形的三边都相切呢？我们首先来分析一下：
教师进一步提问：
（1）作圆的关键是什么？
学生回答：作圆的关键是确定圆心和半径.
提问：（2）假设⊙O就是所求作的圆，切点分别是D、E、F,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.观察图形，你有什么发现吗？
学生回答：圆心是三角形三条角平分线的交点.
提问：(3)
当圆心O确定后，半径应如何确定？
学生回答：半径是圆心到各边的距离.
提问：（4）我们在尺规作图的过程中，用作三角形三个内角的平分线吗？
学生回答：不用，只需要作两个内角的平分线找到交点即可，因为根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得到OD=OE,OD=OF,从而可以证明OE=OF，再根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可以证明OA就是第三个角的平分线.
总结：同学们，经过大家的辨析，我们就得要了用尺规作和三角形三边都相切的圆的方法，下面和老师一起来进行操作.
动手操作：
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交点为O.
过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD长为半径作圆O.
⊙O就是所求作的圆.
总结：圆的切线、切线长定理以及三角形的内切圆，实际上是圆与三角形一边相切，两边相切，和三边相切.
所以，当圆与三角形三边都相切时，圆的切线和切线长的性质它都具有.
(二）达成共识：
1.当圆和三角形的三边都相切时，
我们称这个圆为三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形称为这个圆的外切三角形.
如图：⊙O叫做△ABC的内切圆.△ABC叫做⊙O的外切三角形.
2.三角形的内心到三边的距离相等.
过三角形顶点和内心的射线，平分三角形的内角.
10
分
钟
三、学以
致用
同学们：前面我们还学习过三角形的外心，大家还记得吗？外心和内心一样吗？对，不一样，下面我们辨析一下：
（三）辨析比较：三角形内心和外心的相关知识的比较：
名称定义确定方法图形性质
三角形外心
三角形外接圆的圆心．
三角形三边中垂线的交点．
⊙O叫做△ABC的外接圆.△ABC叫做⊙O的内接三角形.
三角形的外心到各顶点的距离相等．
（外心不一定在三角形的内部）．
三角形内心
三角形内切圆的圆心．
三角形三条角平分线的交点．
⊙O叫做△ABC的内切圆.△ABC叫做⊙O的外切三角形.
三角形的内心到三边的距离相等．
（内心一定在三角形内部）．
例题：
如图，△ABC中，∠A=62°，点O是
△ABC的内心，连接OB，OC.求∠BOC的度数.
解：∵∠A=62°，
∴∠ABC
+∠ACB=118°.
∵点O是△ABC的内心，
∴OB，OC分别是∠ABC，∠ACB
的平分线.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°
-(
∠ABC+∠ACB
)=121°.
变式1：
若∠A=α，其余条件不变，求∠BOC的度数.
解：∵∠A=α，
∴∠ABC
+∠ACB=180°-α.
∵点O是△ABC的内心，
∴OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-
(∠ABC+∠ACB)=90°+α.
方法小结：
解题用到的知识点：三角形的内角和，三角形的内心.
我们研究由特殊到一般的数学问题时可以采用类比的方法加以解决，同时，在思考分析数学问题时也可以采用逆向思维的方式.
下面和老师一起将例题中△ABC的内切圆作出来，看看还能研究什么问题.
学生回答：还可以研究边的问题.
变式2:△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，CA=9，求AF、BD、CE的长.
解：∵⊙O与BC、CA、AB分
别相切于点D、E、F，
∴AE=AF，CE=CD，BF=BD.
设AE=AF=x，CE=CD=y，BF=BD=z.
2分钟
四、课堂
小结
五、课后
作业
x+y=9
x=4
AF=4
∴
x+z=13
解得：
y=5
∴
CE=5
y+z=14
z=9
BD=9
其它方法也可.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上,依据已知条件，从而建立方程或方程组.
1.知识层面：三角形内切圆有关概念和性质：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心是角平分线的交点，三角形内心到三边的距离相等.
2.方法层面：
（1）从特殊到一般是数学研究问题的一种方法，可以采用类比的方法解决有关问题.
（2）运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程或方程组解决有关线段问题.对于转化和方程的数学思想，希望大家掌握.
A层：1.在△ABC
中，点
O
是△ABC
的内心，∠BOC
112°，求∠A
的度数
.
2.已知：如图，四边形
ABCD
外切于⊙O，切点分别为
E，F，G，H.判断
AD
BC
与
AB
DC
是否相等，为什么？
B层：
根据三角形内切圆与外接圆的相关知识，做一期数学手抄报.
