课程基本信息
课题
正多边形的有关计算（2）
教科书
书名：《义务教育教科书.数学》
出版社：北京出版社
出版日期：2019年7月
教学目标
教学目标：
1.通过画图、观察、对比、分析进一步理解正多边形和圆的关系.
2..通过画图、对比、分析、梳理正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念.
把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.
3.引导学生从特殊图形入手，探究解决正多边形的有关计算问题，培养学生化归的思想方法，并通过从刘徽割圆说起的介绍，培养学生的热爱科学和热爱祖国的情感.
教学重点：把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.
教学难点：在正多边形中，构造半径、边心距、边长构成的等腰三角形和直角三角形的基本图形.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
复习引入
探索
新知
例题讲解
巩固练习
拓展
阅读
归纳总结
布置
作业
一、复习引入
上一节课老师留的作业题中有这样一个问题
图中的多边形分别是正三角形，正方形和正六边形，如果是轴对称图形，分别画出它们所有的对称轴；如果是中心对称图形，分别指出对称中心的位置.
预案：正三角形、正方形，正六边形是轴对称图形，正三角形的对称轴是三边的垂直平分线，正方形、正六边形的对称轴是边的垂直平分线，和对角线所在直线.
追问：图中对称轴的交点O称为什么?
预案：正多边形的中心.
预案：正方形和正六边形是中心对称图形，对称中心是它的中心.
二、探索新知
问题1：在已知正△ABC,正方形ABCD,正六边形ABCDEF中你能画出它们的外接圆吗?说说你是怎么画的?
预案：每个正多边形都有一个外接圆，以正多边形的中心O为圆心，OB为半径画圆，可以画出他们的外接圆.
问题2：在图形中你还想画出哪些线段？为什么？
预案1：可以作出正多边形的半径，可知正多边形中心角度数分别为120°，90°，60°.
预案2：半径将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.
预案3：可以作出正多边形的边心距，图中线段OM1的长度是边心距这些边心距把每个等腰三角形分成了2个全等的直角三角形。
预案4：边心距把正n边形分成了2n个全等的直角三角形.
问题3
观察图形，你能得出哪些结论.
预案1：发现每个图中都含有等腰三角形和直角三角形的基本图形.
正多边形
外接圆
等腰三角形
直角三角形
预案2：正多边形的中心O，半径OA、OB，中心角∠AOB,边心距OM的长度,边长AB，这五个量汇集到了等腰三角形中，而在这个等腰三角形中，边心距把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，我们可以用解直角三角形的知识，就可以把正多边形的半径、中心角、边心距、边长构成联系.
三、例题讲解
例1已知正△ABC的半径是6，求它的边心距.
思考：你有什么解题想法吗?
预案：根据已知条件，我们先画出图形，标注已知，求边心距需要构造基本图形：等腰三角形
直角三角形，即可求解.
连接OB,OC∵△ABC是正三角形，∴中心角∠BOC=120°.
过O点作OE垂直BC于点E,
∴∠BOE=60°.
在Rt△OBE中,∠BEO=90°,∠OBE
=30°,BO=6,
∴OE=BO=3.
追问:我们还能求正△ABC的哪些元素呢?
预案：还能求正△ABC的边长、周长和面积.
在Rt△OBE中,∠BOE=60°,
BO=6,
∴EB=6·sin60°=,边长BC=,
C正△ABC
=.
∴S△BOC
=,
S△ABC
=
问题2：你认为解决这道题的关键是什么?
题小结：抓住基本图形求解.
1.连半径，得中心角,出等腰三角形.
2.做边心距，构造直角三角形.
四、巩固练习
练习完成下表中正多边形的有关计算
边数中心角半径边长边心距周长面积
3
R
4
R
6
R
边数中心角半径边长边心距周长面积3120°RRRR
R2490° R RR
R2R2
660° R RR6
RR2
追问:你是怎样计算正三角形的几个元素的?
预案：由正三角形的中心角是120°半径是R,得出∠OBE=30°，求出OE=R,EB=R·sin60°=R得BC=
RR，由△OBC的面积等于R2，△ABC的面积等于3倍的△OBC的面积R2
追问:你是怎样计算正方形的几个元素的?
预案：由正方形的中心角是90°,边心距OE是
R得出∠OBE=45°，BC=2OE
=R，OB==
R.
追问:你是怎样计算正六边形的几个元素的?
预案：由正六边形的中心角是60°边长是R,得出∠OBM=60°，求出OB=R,MO=R·sin60°=R
由△OBC的面积等于R2，正六边形的的面积等于6倍的△OBC的面积R2.
思考：观察表格，你有什么发现吗？
题小结：
1.当正多边形的边数给定时，已知正多边形的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意项，都可以求出其他项.
2.从上面表格我们也可以发现，当正多边形的半径确定时，随着圆内接正多边形边数的增加，中心角的度数在减小，正多边形的边长在减小，周长和面积都在逐渐增大.
追问：随着正多边形边数无限增多，正多边形的周长与面积与圆的周长与面积有什么联系呢？
预案：正多边形的周长无限接近圆的周长，正多边形的面积无限接近圆的面积.
五、拓展阅读
在公元3世纪，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断的把正多边形的边数倍增，他一直算到圆内接正192边形，把圆的内接正192边形近似地表示圆的周长，用周长与直径的比得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值π≈3.14，刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无失矣”我们称这个方法为刘徽割圆术，他开启了圆周率的新纪元.
后来祖冲之继承了刘徽的思想，求出π的值在3.1415926与3.1415927之间,最先将π精确到小数点后六位.他的结果比欧洲早了一千多年.
六、归纳总结
这节课我们都学习了哪些知识，我们是如何研究的？
1.通过进一步理解正多边形和圆的关系，从特殊图形入手，使用化归的思想方法，把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.
2.从刘徽割圆说起的介绍，我们看到了一代代科学家通过不懈努力与传承，我们祖国的取得了举世瞩目的成就，希望作为后浪的你们，发奋学习，全面提高自己，用实际行动承担中华民族伟大复兴的重任.
七、布置作业
A层
1.已知正六边形的边心距为2，求它的外接圆的面积.
2.要在圆形铁片上裁出边长为a的正方形铁片，求选用的圆形铁片最小直径.
B层
1.如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A?上，如果BC=6,求折痕在△ABC内的长.课程基本信息
课题
正多边形的有关计算（1）
教科书
书名：
义务教育教科书-数学-九年级-上册
出版社：北京出版社
出版日期：
2015
年
1
月
教学目标
教学目标：
通过观察、发现、探究等数学活动了解正多边形和圆之间的联系；掌握正多边形有关概念，会画正多边形.
通过画图、探索体会正多边形与圆以及正多边形相关概念之间的关系，积累解决数学问题的活动经验.
感受数学来源于生活，又服务于生活，提升学生观察分析问题的能力，发展应用数学的意识.
教学重点：探索并掌握正多边形以及正多边形的有关概念.
教学难点：理解正多边形和圆以及概念之间联系.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
情景引入
大家知道蜜蜂是以勤劳和团结著称，蜂巢是蜜蜂居住与繁衍的场所.
问题1：你知道蜂巢的横截面是由什么图形无缝衔接构成的吗？
预案：正六边形.
蜜蜂为什么选择正六边形，而不是其它图形.同学们，通过本节课你就会知道其中的奥秘，让我们一起开启今天的学习之旅吧！
思考探究
问题1：你能说出什么是正六边形吗？
预案：六条边相等，六个角相等的六边形是正六边形.
追问：你能叙述出正n边形的定义吗？
预案：各边都相等且各角都相等的n边形叫正n边形.
问题2：观察图形，你能发现我们以前学过的哪些图形呢？这些图形和正六边形有何关系呢？
预案（1）：以正三角形的一个顶点为中心，顺时针（或逆时针）依次旋转5次，每次旋转60°可以得到正六边形.
预案（2）：把周角六等分，即∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，顺次连接角的两边和圆周的交点，即顺次连接A、B、C、D、E、F，可以得到正六边形.
问题3：把周角六等分，顺次连接角的两边和圆周的交点,
为什么这种画法，得到的多边形是正六边形呢？
已知：在⊙O中，将圆周角六等分，顺次连接每个角的两边和圆周的交点，得到六边形ABCDEF.
求证：六边形ABCDEF是正六边形．
思路分析：根据正多边形的定义，分别证明各边相等、各角相等.
获取新知
问题1：请同学们观察正六边形和圆，正六边形的顶点到圆心的距离是否相等，说明什么？
预案：正六边形各个顶点到圆心的距离相等，说明正六边形的顶点都在圆上.
老师总结：像这种,正六边形的各个顶点都在同一个圆上，这个圆是正六边形的外接圆；把一个圆周分成6等份，依次连接各等分点A、B、C、D、E、F，得到的正六边形ABCDEF叫做⊙O的内接正六边形.
问题2：类比正六边形，把圆周分成n（n≥3）等份，依次连接各个分点，所得的多边形是圆内接正n边形吗？
形成概念：
圆的内接正n边形:如果将一个圆分成n等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.
正n边形的外接圆:如果正n边形的各个顶点都在同一个圆上，这个圆是正n边形的外接圆.
设计意图：让学生通过观察、猜想、推理、迁移，以圆内接正六边形为例，推广到正n边形的情形，从而得到正n多边形与圆的关系.让学生充分经历知识的形成过程，体会由特殊到一般的这种研究问题的方法，发展学生思维的严谨性.
问题3：请继续观察正六边形和圆，它们之间图形上有何关联？
预案（1）：
正多边形外接圆的圆心是正多边形的中心.
预案（2）：
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.
设计意图：想利用问题3引出正多边的中心、正多边形的半径、边心距和正多边形的中心角的概念.
形成概念：
正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.（如图，点O叫做正六边形ABCDEF的中心）
正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径.（如图，OA、OB、OC、OD、OE、OF等叫做正六边形ABCDEF的半径）
正多边形的边心距:中心到圆内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距.（如图，OM是正六边形ABCDEF的边心距）
正多边形的中心角:正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.（如图，∠BOC是正六边形ABCDEF的中心角）
问题4：我们学了正多边形的中心角，你能求出正三边形、正方形、正五边形、正六边形的中心角度数吗？你能求出正n边形的中心角度数吗？
正三边形的中心角多少度？
正方形的中心角多少度？
正五边形的中心角多少度？
正六边形的中心角多少度？
得出结论：正n边形的中心角的度数=
问题5：你能说出正n边形的对称性吗？
追问（1）：正三边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
追问（2）：正方形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
追问（3）：正五边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
追问（4）：正六边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
设计意图：想利用一组问题串，得出正n边形的对称规律.
得出结论：
当n为奇数时，正多边形是轴对称图形不是中心对称图形；
当n为偶数时，正多边形是轴对称图形也是中心对称图形.
巩固新知
问题1：请你利用尺规作出圆内接正六边形，你可以想到几种作图方法呢？
作法（1）：如图，任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到圆内接正六边形ACEBFD.
作法（2）：如图，由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到圆内接正六边形.
问题2：类比正六边形的作法，你能作出圆内接正方形吗？
作法如图，用尺规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出圆内接正方形.
归纳小结
正多边形和圆的关系.
2．作圆内接正多边形的方法.
3.
同学们，还记得课前蜜蜂筑巢的故事吗？蜜蜂为什么要把蜂巢建成正六边形呢？
蜜蜂是天才建筑师，它的建筑理念就是使用最少材料建更宽敞的空间，而在正三角形，正方形，正八边形，圆等图形中，正六边形最符合这个要求，因为如果蜂巢呈圆形或正八边形，会出现空隙，要是正三角形或正方形，则面积就会相对较小，所以正六边形的效果是最好的，人们把它叫做蜂窝结构.这种合理利用空间，增加容量的建筑对人类有颇多启示，人们将它应用在飞机羽翼和人造卫星的机壳上.
布置作业
A层作业:
1.如图，△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，指出图中各部分的名称：⊙O的圆心O是等边三角形的
，OD是等边三角形的
，OC是等边三角形的
，∠BOC是等边三角形的
.
2.图中的多边形分别是正三角形、正方形和正六边形.如果是轴对称图形，分别画出它们所有的对称轴；如果是中心对称图形，分别指出对称中心的位置.
B层作业:
圆内接正多边形的边长、正多边形的半径和边心距之间有什么数量关系？（温馨提示：可以先从正三边形、正四边形、正六边形进行探究）
