人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 综合训练题（word版含答案）

人教版九年级数学下册
第二十七章
相似
综合训练题
一、选择题
1．如图，在矩形中，，分别为边，的中点，线段，与对角线分别交于点，．设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接BF．将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上且BA′交CD于点G，若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则BG＝（　　）
A．5
B．
C．
D．3
3．如图，点M是正方形内一点，是等边三角形，连接、．对角线交于点N，现有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．①②③④
B．②③
C．①②④
D．①③④
4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FC＝DC；④CD:AD＝:2．其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N．则下列结论：①；②；③；④正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6．如图，等腰中，，双曲线经过的三个顶点，边交x轴于点D，原点O在上，若且面积为2，则k的值为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
7．如图，过点的直线交x轴于点A，，，曲线过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为（
）
A．10
B．9
C．8
D．5
8．如图，四边形ABCD中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，……，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
9．如图，
正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
10．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．如图，，∠ABO=30°，M为的中点，，将绕点O旋转一周，直线交于点P，连接，则的最小值是__________．
12．如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t=__________s时．
13．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．①矩形是正方形；②；③；④若为中点，连接交于点，则，正确的有________．（填序号）．
14．如图，在矩形中，，，在边上有一点，使平分．若为边上一点，且，连接并延长交的延长线于．给出以下五个结论：①点平分线段；②；③；④；⑤是正三角形，其中正确结论的序号是_________．
15．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，．若，，则的长为______．
三、解答题
16．正方形和等腰共顶点D，，，将绕点D逆时针旋转一周．
（1）如图1，当点F与点C重合时，若，求的长；
（2）如图2，M为中点，连接、，探究、的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为_________．
17．如图1
，已知中，，点在、上，且．
（1）求证：．
（2）如图，过点作交于点，作交于点，求证：．
（3）在图
2中，
与交于点，若，求的值．
18．如图，在矩形中，点C在x轴上，点B的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，且直线与、x轴分别交于点D、F．
（1）求线段的长；
（2）求直线的解析式；
（3）若点P是平面内任意一点，点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为点N．在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图1，在中，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点不重合），与射线相交于点F．
（1）如图2，如果点D是边的中点，求证：；
（2）如果，求的值；
（3）如果，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
20．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点，分别从点，同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）经过多少秒，可使的面积等于？
（2）经过多少秒，与相似？
（3）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
21．如图，中，，是斜边上一个动点，以为直径作交于点，与的另一个交点，连接．
（1）当时，
①若，求的度数；
②求证；
（2）当，时，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的的长．
22．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为4，求四边形的面积．
23．如图1，在矩形中，，，为中点，是线段上一动点，以为圆心，为半径作⊙分别交及延长线于点，，延长交于点．
（1）当时，求的长．
（2）如图2，当交⊙于另一点时，连接，，作于点，求证：．
（3）连结，当是直角三角形时，求的长．
【参考答案】
1．C
2．C
3．A
4．C
5．B
6．A
7．A
8．B
9．C
10．C
11．6-．
12．
13．①③④
14．①②③⑤
15．14
16．解：（1）过点作交延长线于点，如图：
∵四边形为正方形
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴．
（2）结论：，
理由：延长至，使，连接、，延长、交于点，如图：
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴，．
（3）根据已知条件可知若越小，则即越靠近点，而点是的中点，点位置不变，而点的位置改变，由于绕点D逆时针旋转一周且可知点的运动轨迹为：以点为圆心以为半径的圆，不难看出当点、、共线即旋转到时，最小，过点作、，过点作交的延长线于点，如图：
∴，点是的中点
∴，且相似比为；，
即
∴，；
∴
∵，点是的中点
∴，且相似比为
∴
∴的最小值为．
17．（1）在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如图，过点作交的延长线于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）得，
又，
∴，
∴，
∵，
∴设，
已证：，，
∴，
∴，
∴，
代入得，
∴，
由，得，
∴，
∴，
作的高，
则，
∴
．
18．解：（1）由B（-6，8）可得OC=6，BC=8．
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO=90°，
由勾股定理可得：BO=
，
由折叠可知BE=BA=6，
∴EO=OB-BE=10-6=4．
（2）设D（0，b），则由题意可得：∠DEO=90°，DE=DA=8-b，
在直角三角形DEO中由勾股定理可列：OE2+DE2=DO2，
即42+（8-b）2=b2，
解得b=5，
所以D（0，5）
∴设直线BD的解析式为y=kx+5，
把B（-6，8）代入得8=-6k+5，，
∴，
所以直线BD的解析式为：；
（3）当ON是菱形的一边时，即ON=OE=4，
所以N?（4，0）或N?（-4，0），
此时分别将4和-4代入，
得点M的坐标为（4，3）或（-4，7）．
当ON是菱形的对角线时，即NE=OE时，作NH⊥OC于H，如图，
可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入得点M的坐标为,
综上所述：在点M的运动过程中存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为：（4，3）或（-4，7）或．
19．（1）证明：如图2，连接DC．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵点D是AB中点，
∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，
∴∠ACD=∠B=45°．
∵ED⊥DF，CD⊥AB，
∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE=DF；
（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．
∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，
∴△ADP∽△BDQ，
∴DP：DQ=AD：DB=k．
∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠QDF=∠PDE，
∵∠DQF=∠DPE=90°，
∴△DQF∽△DPE，
∴DE：DF=DP：DQ，
∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=k；
（3）解：如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=
∵AD：DB=1：2，
∴AD=2，DB=4．
由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，
可得AG=EG=x，BH=FH=y，
GD=2－x，HD=4－y，
∵DF⊥DE
∴∠EDF=90°，
∴∠GED=∠HDF，∠EDG=∠DFH
∴△DGE∽△FHD，
∴y=8-2x，
定义域是0＜x≤4．
20．（1）设经过秒，可使的面积等于．
由题意列方程，得
整理，得，
解得，，
即经过2秒或4秒，可使的面积等于．
（2）设经过秒，与相似．
情况1：若，
则，即，
解得；
情况2：若，
则，即，
解得．
综上，经过2.4秒或秒时，与相似．
（3）线段不能将分成面积相等的两部分.
理由：假设经过秒线段能将分成面积相等的两部分，
则，
整理得，，，
∴此方程无实根，即假设不成立，
∴线段不能将分成面积相等的两部分．
21．（1）①解：连接，如图1所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：，
，
，，
，，，
，
；
（2）解：由，，
由勾股定理得：，
，
即
，
连接，如图所示：
是直径，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
，
；
当时，可知点是斜边的中线，
，
；
当时，作，则是中点，，如图所示：
，
，，
，
，
即，
解得：，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形，符合条件的的长为10或或7．
22．解：作于交于，
是的中位线，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，，
∴
∵，
∴，
即有：，
∴
即，
∴
∵，
∴
即，
∴．
23．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∵AB＝3，AO＝OD＝4，
∴OB＝＝5，
∵OP＝OE＝2，
∴BE＝3，
∵BH∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝6．
（2）如图2中，
∵EF是直径，
∴∠EGF＝90°，
∵OA＝OD，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴AOE≌DOF（SAS），
∴∠EAO＝∠ODF，
∴AH∥DF，
∴∠DFG＝∠EGF＝90°，
∵DM⊥BF，
∴∠DMF＝∠EGF＝90°，
∵∠GFE+∠DFM＝90°，∠DFM+∠FDM＝90°，
∴∠EFG＝∠FDM，
∴EFG∽FDM．
（3）如图3﹣1中，当∠HEO＝90°时，
∵?AB?AO＝?OB?AE，
∴AE＝，
∴OE＝＝，
∴OP＝OE＝．
如图3﹣2中，当∠EOH＝90°时，
∵BC∥AD，
∴∠BOA＝∠OBH，
∵∠BAO＝∠BOH＝90°，
∴ABO∽OHB，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝，
∵OA∥BH，
∴＝＝＝，
∴OE＝?OB＝，
∴OP＝OE＝，
综上所述，OP的值为或．