北师大版数学七年级下册4.1.1 三角形的角 课件（18张）

第四章 三角形
1 认识三角形
课时1 三角形的角
1.学习和掌握三角形的内角和定理.（重点）
2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.（重点）
3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理.
学习目标
新课导入
情境导入
小学的时候我们通过测量或者剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°，现在怎么通过推理去验证这个结论呢？
请大家在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，得到一个平角. 在这个操作中，你能发现证明的思路吗？
新课讲解
知识点1 三角形内角和定理
合作探究
如图，∠B，∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l. 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系.
新课讲解
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
3
l
证明：过点A作直线l，使得l//BC.
∵l//BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）.
则∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
你能想出来其他的证明方法吗？
新课讲解
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
l
证明：过点C作直线l，使得l//AB，延长BC.
∵l//AB，
∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠3=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）.
则∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）.
1
2
3
三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°.
新课讲解
例
1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
典例分析
解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=20°.
∵在△ADB中，∠B=75°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=85°（三角形内角和定理）.
新课讲解
例
2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度?
典例分析
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
新课讲解
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，
由AD//BE得，∠BAD+∠ABE=180°，
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°
=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90度.
新课讲解
练一练
如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
1
解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=60°.
∵∠CBD=45°，∠ADC=90°，
∴∠BCD=45°.
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°.
┐
A
B
D
C
课堂小结
三角形的内角
三角形的内角和为180°
三角形内角和定理
当堂小练
1.　如图，说出各图中∠1 的度数．　
50°
45°
68°
解析：三角形内角和为180°，所以所求度数为180°减去另外两个内角之和
当堂小练
2. 如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测A，B 两处的视角∠ACB 是多少？ 　　
解：在Rt△ACD中，∠ACD=90°-∠CAD=60°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠CBD=45°.
∠ACB =∠ACD – ∠BCD
= 60°– 45°
=15°.
A
B
D
C
D
拓展与延伸
1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小是（ ）
A.44° B.40° C.39° D.38°
A
C
B
D
分析：利用三角形内角和定理，可以求出△ABC的
第三个内角的度数.
利用角平分线的性质和平行线的性质，可以
转化出相等的角.
D
拓展与延伸
1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小是（ ）
A.44° B.40° C.39° D.38°
A
C
B
D
C
解：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=39°.
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°.
D
拓展与延伸
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.
分析：利用三角形内角和定理，将已知的角度与未知角
之间联系起来.
利用等量代换将相等的角进行替换.
A
C
B
D
1
2
3
4
D
拓展与延伸
2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.
A
C
B
D
1
2
3
4
解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠3=∠1+∠2.
∵∠3=∠4，∠1=∠2， ∴∠4=∠1+∠2=2∠1.
∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°，
∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1.
∵∠BAC=∠1+∠DAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°，
∴∠1=39°，则∠DAC=24°.
布置作业
请完成对应习题