北师大版数学七年级下册4.1.3三角形的中线、角平分线 课件（17张）

第四章 三角形
1 认识三角形
课时3 三角形的中线、角平分线
1.掌握三角形的中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的中线及角平分线的画法.（难点）
3.了解三角形的重心的概念.
学习目标
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定义
图示
垂线

线段中点

角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
A
B
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
O
B
A
新课讲解
知识点2 三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的中点的线段叫做三角形的中线.如图，AD是△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
中线
中点
?
新课讲解
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？
发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形 的重心.
新课讲解
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
新课讲解
例2
典例分析
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，
△ADC的周长＝ AC + DC + AD ，
所以△ABD的周长- △ADC的周长
＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ）
＝ AB- AC=2cm.
又因为AC＝5cm，
所以AB＝7cm.
新课讲解
知识点2 三角形的角平分线
定义：在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=∠BAC且点D在边BC上.
1
2
A
C
D
∠1=∠2
B
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线
新课讲解
问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.
A
B
C
D
E
F
新课讲解
问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？
新课讲解
例3
在△ABC中，已知∠A = 50°, BE , CF分别是∠ABC，∠ACB
的平分线，相交于点P.∠ABP = 21°,求∠BCP的度数.
解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE ＝ 21°，
所以∠ABC ＝ 2×21°＝ 42° .
因为∠A+∠ABC+∠BCA ＝ 180°，∠A＝50°，
所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为CF 平分∠BCA，
所以∠BCP＝1/2∠BCA ＝ 44° .
课堂小结
三角形重要线段
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心
直角三角形：三条高交于直角顶点
锐角三角形：三条高交于在三角形的内部一点
钝角三角形：三条高所在直线交于三角形外部一点
高
中线
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心
一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
当堂小练
1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
×
×
解析：（1）AD线段不在△ABE内部，所以不是其角平分线
（2）BE 线段不在△ABD内部，所以不是其角平分线
（3）AE不等于CE,所以BE不是△ABC边AC上的中线
×
当堂小练
?
B
当堂小练
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
????
?
????
?
????
?
????
?
D
拓展与延伸
3.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12 和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长.
解：设AB ＝ AC ＝ 2x，则AD ＝ CD ＝ x.
（1）当AB+AD ＝ 12，BC+CD ＝ 6 时，有2x+x ＝ 12，
所以x ＝ 4，2x ＝ 8. 所以AB ＝ AC ＝ 8，BC ＝ 6-4 ＝ 2.
（2）当BC+CD ＝ 12，AB+AD ＝ 6 时，有2x+x ＝ 6，
解得x ＝ 2，所以2x ＝ 4.
所以AB ＝ AC ＝ 4，BC ＝ 12-2 ＝ 10.
因为4+4<10，所以此时不能构成三角形.
综上所述，等腰三角形ABC 的腰长为8，底边长为2.
布置作业
请完成对应习题