第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
课时1 用“边边边”判定三角形全等
1.理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容.(重点)
2.熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等.(难点)
3.通过探究判定三角形全等条件的过程,提高分析和解决问题的能力.
学习目标
新课讲解
思考
画出△ABC和△A'B'C',使得满足仅有一条边相等或者仅有一个角相等,此时的△ABC和△A'B'C'全等吗?
结论:只有一条边或者一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
1、只有一条边相等的情况:
2、只有一个角相等的情况:
新课讲解
思考
画出△ABC和△A'B'C',使得满足有两个相等条件,此时的△ABC和△A'B'C'全等吗?
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
1、有2条边相等的情况:
新课讲解
思考
画出△ABC和△A'B'C',使得满足有两个相等条件,此时的△ABC和△A'B'C'全等吗?
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
2、有两个角对应相等的情况:
新课讲解
思考
画出△ABC和△A'B'C',使得满足有两个相等条件,此时的△ABC和△A'B'C'全等吗?
结论:一条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
3、有一条边和一个角分别对应相等的情况:
新课讲解
思考
画出△ABC和△A'B'C',使得满足有3个相等条件,此时的△ABC和△A'B'C'全等吗?
1、有三条边对应相等的情况.
2、有两条边和一个角对应相等的情况.
3、有一条边和两个角对应相等的情况.
4、有三个角对应相等的情况.
新课讲解
思考
先画出一个△ABC,再画出一个△A'B'C',使得AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',此时的△ABC和△A'B'C'全等吗?
画法:(1)画线段BC=B'C';
(2)分别以B'C'为圆心,BA,BC为半径画弧,
两弧交点为A';
(3)连接线段A'B',A'C'.
通过画图,你能得出什么样的结论?
新课讲解
知识点1 全等形的判定1
判定1:三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或者“SSS”).
符号语言表示:在△ABC和△A'B'C'中,
AB=A'B',
AC=A'C',
BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'.(SSS)
新课讲解
例
1 在如图所示的三角形钢架中,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证△ABC≌△A'B'C'.
典例分析
证明:∵点D是BC的中点,∴BD=CD.
在△ABC和△A'B'C'中,
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
A
B
C
D
AD 称为公共边.
新课讲解
练一练
如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.求证△ACD≌△CBE.
1
D
A
B
C
E
证明:∵点C是AB的中点, ∴AC=CB.
在△ACD和△CBE中,
AD=CE,
CD=BE,
AC=CB,
∴△ACD≌△CBE(SSS).
新课讲解
知识点2 作一个角等于已知角
用直尺和圆规作出一个角等于已知角.
如图,已知:∠AOB.
求作:∠A'O'B',使得∠AOB=∠A'O'B'.
作法:(1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D;
新课讲解
知识点2 作一个角等于已知角
(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第(2)步中所画的弧相交于点D';
新课讲解
知识点2 作一个角等于已知角
新课讲解
练一练
工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别截取OM=ON.移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,为什么?
证明:在△MOC和△NOC中,
OM=ON,
OC=OC,
CM=CN,
∴△MOC≌△NOC(SSS).
∴∠MOC=∠NOC,则OC便是∠AOB的平分线.
新课讲解
练一练
如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等?试说明理由.
解:△ABC≌△DCB
AB=CD
AC=BD
BC=CB
∴△MOC≌△NOC( SSS ).
其中BC是两个三角形的公共边.
新课讲解
练一练
如图,点D、F是线段BC上的两点,AB=CE,AF=DE,利用“SSS”判定,要使△ABF≌△ECD,还需要增加条件( ).
B
A
C
D
F
E
BF=CD 或 BD=CF
方法2
解: ∵BD=CF,∴BD+DF=CF+DF.
在△ABF和△ECD中,
AB=CE,
AF=ED,
BF=CD,
∴△ABF≌△ECD(SSS).
方法1
解:在△ABF和△ECD中,
AB=CE,
AF=ED,
BF=CD,
∴△ABF≌△ECD(SSS).
课堂小结
三角形全等的判定
三边分别相等的两个三角形全等
SSS
尺规作图
作一个角等于已知角
应用
利用“SSS”解决实际问题
分类探讨
只满足一个条件或者两个条件时不能判定三角形全等
当堂小练
已知:如图,AC=FE,AD=FB,BC=DE.求证:AC//EF,DE//BC.
A
C
B
D
E
F
证明:∵AD=FB, ∴AD+DB=FB+BD,即AB=FD.
在△ABC和△FDE中,
AC=FE,
BC=DE,
AB=FD,
∴△ABC≌△FDE(SSS),则∠A=∠F,∠ABC=∠FDE.
∵∠A=∠F,∠ABC=∠FDE,
∴AC//EF,DE//BC.
当堂小练
如图,AB=AD,DC=BC,求证∠B=∠D.
解: 在△ABC和△ADC中,
AB=AD,
BC=DC,
AC=AC,
∴ △ABC≌△ADC(SSS).
∴∠B=∠D.
当堂小练
如图,△ABC中,AB = AC,EB = EC,则由SSS可以判定( )
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
B
D
拓展与延伸
解:作图如图所示:
作法:(1)以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,
分别交OA,OB于点 D,E;
(2)以点 C 为圆心,OD 长为半径画弧,交OB 于点 F;
(3)以点 F 为圆心,DE 长为半径画弧,
与第2步中所画的弧相交于点 P ;
(4)过C,P 两点作直线,直线 CP 即为要求作的直线.
已知∠AOB,点C是OB边上的一点,用尺规作图,画出经过点C与OA平行的直线.
布置作业
请完成对应习题