北师大版数学七年级下册4.3.2 用“角边角”“角角边”判定三角形全等 课件（37张）

第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
课时2 用“角边角”“角角边”判定三角形全等
1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的内容.（重点）
2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等.（难点）
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
新课讲解
思考
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
画法：1、画A′B′=AB.
2、在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A
∠EB′A′=∠B， A′D，B′E相交于点C′.
3、△A′B′C′即为所作三角形.
通过画图，你能得出什么样的结论？
新课讲解
如图，△A′B′C′就是所求作的三角形.
将原来的△ABC和△A′B′C′叠加在一起，能否完全重合？
C
A
B
结论：有两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合.
新课讲解
知识点1 全等形的判定3
判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
新课讲解
例
1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.
典例分析
D
E
B
C
A
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A （公共角），
AC=AB，
∠C=∠B，
∴△ACD≌△ABE（ASA）.
∴AD=AE.
新课讲解
例
2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
典例分析
证明：在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
BC=EF，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
A
B
E
D
C
F
你是不是这样证明的，错在哪里？
新课讲解
例
2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
典例分析
分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得第三个角之间的关系.通过转化来构造“ASA”的判定条件.
A
B
E
D
C
F
新课讲解
例
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E，
∴∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E，
BC=EF，
∠C=∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
A
B
E
D
C
F
新课讲解
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
练一练
分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一对角相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题意，有AB⊥BC，AD⊥DC，则构成∠ABC=∠ADC=90°.可以选择“ASA”，需要将已知角转化成两角及其夹边，即可求证.
A
B
C
D
1
2
新课讲解
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
练一练
A
B
C
D
1
2
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC，
∴∠ACB=∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2，
AC=AC（公共边），
∠ACB=∠ACD，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， ∴AB=AD.
新课讲解
练一练
如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C
D
F
E
┐
┐
分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三角形全等即可得出题目要求的结论.
新课讲解
练一练
如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C
D
F
E
┐
┐
解：由题可知：AB⊥BC，ED⊥DC，
则∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC，
BC=DC，
∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）.
∴AB=ED，则DE的长就是AB的长.
新课讲解
练一练
如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出△ABC≌△EDC.根据哪个判定？
C
E
A
D
B
（1）条件（ ），
根据（ ）.
（2）条件（ ），
根据（ ）.
AB=ED
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
∠ACB=∠ECD
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
新课讲解
思考
两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？
在△ABC和△A'B'C'中，使得AB=A'B'，∠C=∠C'，∠B=∠B'.
此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？
A
B
B'
A'
C
C'
请选用已经学过的全等三角形的判定来证明△ABC和△A'B'C'全等.
新课讲解
已知，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠C=∠C′，∠B=∠B′.
证明△ABC≌△A′B′C′.？
A
B
B'
A'
C
C'
证明：∵∠C=∠C′，∠B=∠B′，
∠A=180°-∠B-∠C，
∠A′=180°-∠B′-∠C′，
∴∠A=∠A′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.



新课讲解
知识点1 全等形的判定4
判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
要按照”角—角—边“的顺序书写.
新课讲解
例
1 如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC.
求证：△ABC≌△ADC.
典例分析
解：在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D，
∠BAC=∠DAC，
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
┐
A
B
D
C
┐
新课讲解
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
练一练
分析： 利用三角形全等的性质说明AB=AC.
AB，AC分别在△AEB和△ADC中， 则需要证明△AEB≌△ADC.题目中已有一边和两角相等，可以考虑选择 “ASA”或者“AAS”，将∠1=∠2转化成△AEB 和△ADC中相等的角即可.
1
B
D
A
E
2
新课讲解
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
练一练
1
B
D
A
E
2
证明：∵∠2是△AEB的外角，∴∠AEB=180°-∠2.
∵∠1是△ADC的外角，∴∠ADC=180°-∠1.
∵∠1=∠2，∴ ∠AEB=∠ADC.
在△AEB和△ADC中， ∠A=∠A
∠AEB=∠ADC，
BE=CD，
∴△AEB≌△ADC（AAS）. ∴AB=AC.

新课讲解
如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形.
有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？
思考
思考
“ASA”和“AAS”之间有什么关系？
在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定是可以相互转化的.
你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？
新课讲解
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ASA
“ASA”和'AAS”的区别与联系
“S”的意义
书写格式
联系
ASA
“S”是两角的夹边
把夹边相等写在两角相等的中间
由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化
AAS
“S”是其中一角的对边
把两角相等写在一起，边相等放在最后
新课讲解
练一练
如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明.
B
A
O
D
C
解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点， ∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，
∴∠A=∠B（三角形内角和定理）.
在△AOC和△BOD中, ∠A=∠B，
OA=OB，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（ASA）.
新课讲解
练一练
如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明.
B
A
O
D
C
解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点， ∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中， ∠C=∠D，
∠AOC=∠BOD，
OA=OB，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
新课讲解
练一练
已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB//CD，∠ACB=∠D.
求证：BC=ED.
证明：∵AB//CD， ∴∠A=∠ECD.
在△ACB和△CDE中，
∠ACB=∠D，
∠A=∠ECD，
AB=CE，
∴△ACB≌△CDE（AAS）.
∴BC=ED.
A
B
E
C
D
课堂小结
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
ASA
应用
利用“ASA、AAS”解决实际问题
分类探讨
两角及其夹边分别相等
两角及其中一角的对边分别相等
三角形全等的判定
AAS
两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等
对比探究
对比“ASA”和“AAS”的区别和联系
当堂小练
如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD.
证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D，
∴∠ABC=∠ABD （三角形内角和定理）.
在△ABC和△ABD中，
∠1=∠2，
AB=AB（公共边），
∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD（ASA）.
∴AC=AD.
A
B
1
2
C
D
当堂小练
如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE.
求证：△ABC≌△DAE.
证明：∵DE//AB， ∴ ∠CAB=∠EDA.
在△ABC和△DAE中，
∠CAB=∠EDA，
AB=DA，
∠B=∠DAE，
∴△ABC≌△DAE（ASA）.
为你支招：有平行线就可以转化出相等的角.
当堂小练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.
分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”.
利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键.
当堂小练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.
3
解：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD.
∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC.
在△ACB和△FEC中，∠B=∠FCE，
BC=CE，
∠ACB=∠FEC，
∴△ACB≌△FEC（ASA）. ∴ AC=EF.
∵BC=2cm，EF=5cm. ∴ AE=3cm.
当堂小练
如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF.
求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BE=CF.
证明：（1）∵AC//DF， ∴∠ACB=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠F，
∠A=∠D，
AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
A
C
D
F
B
E
（2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF.∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF.
等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.
D
拓展与延伸
如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D.
1
B
E
D
A
2
分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等.
D
拓展与延伸
如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D.
1
B
E
D
A
2
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE，
AC=AE，
∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA）.
∴AB=AD，∠B=∠D.
D
拓展与延伸
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“SAS”.
解：（1） 添加AE=AF，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，AE=AF，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）.
D
拓展与延伸
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
解：（2） 添加∠EDA=∠FDA ，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠EDA=∠FDA，
AD=AD，
∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD（ASA）.
已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“ASA”.
D
拓展与延伸
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
解：（3） 添加∠DEA=∠DFA，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠DEA=∠DFA，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“AAS”.
布置作业
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