北师大版数学七年级下册5.3.1 等腰三角形的性质 课件（25张）

第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
课时1 等腰三角形的性质
学习目标
1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.（重点）
2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.（难点）
新课导入
情境导入
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点.
A
C
B
D
剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.
新课导入
思 考
把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角.
由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出
你的猜想.
重合的线段：AB和AC，BD和CD；
重合的角：∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C，
∠ADB=∠ADC.
A
C
B
D
新课导入
猜 想
等腰三角形的两个底角相等，折痕AD为∠BAC的角平分线，为底边BC的中线，为底边BC的高.
重合的线段：AB和AC，BD和CD；
重合的角：∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C，
∠ADB=∠ADC.
A
C
B
D
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
A
B
C
应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不在同一个三角形中不能使用.
新课讲解

（1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法，这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便.
（2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论.
新课讲解
知识点 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD.
②∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC ，BD=CD.
③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
你能不能证明①②③的结论？
B
C
D
A
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC .
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中 AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.
∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.
B
C
D
A
新课讲解
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC .
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中， AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.
∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.
B
C
D
A
新课讲解
B
C
D
A
证明：∵AD是底边BC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，
AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD .
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：∠BAD=∠CAD ，BD=CD.
新课讲解

（1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直.
（2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才能互相重合.
新课讲解
（1）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.
（2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
（3）等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一点到两腰的距离相等.
等腰三角形的其他性质：
新课讲解
例
1 如图，△ABC是等腰三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，请写出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并说明BD=CD.
典例分析
A
B
C
┐
┐
解： ∵AB=AC，∠BAC=90° ,
∴∠B=∠C=45°.
∵AB=AC，AD是底边BC上的高，
∴AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=45°.
∴AD是底边BC上的中线，则BD=CD.
新课讲解
练一练
如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
1
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠B=∠C，AD⊥BC.
∵∠B=90°-∠BAD=55°,
∴∠C=55°.
C
新课讲解
练一练
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA,则∠B的大小为（ ）
A.40° B.36° C.80° D.25°
2
解： ∵AB=AC， ∴∠C=∠B.
∵BD=BA，DA=DC，
∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B.
设∠C=∠B=x，则∠BAD=∠BDA=2x.
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴x=36°.
∴∠B=36°.
B
课堂小结
等腰三角形
性质
等边对等角
定义
有两边相等的三角形
三线合一
当堂小练
如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
A.50° B.60° C.65° D.70°
A
解：∵AB//CD，∠1=65°, ∴∠ACD=∠1=65°.
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠DAC=65°.
∴∠2的度数为：180°- 65°-65°=50°.
当堂小练
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
D
B
A
C
解：∵∠BAD=26°，AB=AD，
∴∠B=∠ADB= （180°-26°）=77°.
∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC.
∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C的度数为 ∠ADB=38.5°.
B
当堂小练
如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC.
证明：作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD.
∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF.
∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF.
∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
拓展与延伸
已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？
解：因为等腰三角形的两个底角相等，
所以这个已知的角只能是顶角，
则两个底角的度数都是（180°-130°）=25°,
所以另外两个内角的度数分别为25°，25°.
拓展与延伸
（2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？
解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角.
则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°,
所以另外两个内角的度数分别为70°，70°.
②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角，
一个是顶角.
则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°,
综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°.
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论：
①12厘米，8厘米 ②12厘米，18厘米
还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边.
拓展与延伸
（3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个等腰三角形的周长最大是多少？
解：因为等腰三角形一条边长为12厘米，并且两条边的长度比为3:2，
所以和它不相等的另外一条边的长为8厘米或18厘米.
①当腰长为8厘米，底边长为12厘米时，周长为8+8+12=28（厘米）；
②当腰长为12厘米，底边长为8厘米时，周长为8+12+12=32（厘米）；
③当腰长为12厘米，底边长为18厘米时，周长为18+12+12=42（厘米）；
④当腰长为18厘米，底边长为12厘米时，周长为18+18+12=48（厘米）.
因为28<32<42<48，所以这个等腰三角形的周长最大为48厘米.
布置作业
请完成对应习题