北师大版数学七年级下册5.3.3 角平分线的性质 课件（20张）

第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
课时3 角平分线的性质
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）
2.探究并证明角平分线的性质.（难点）
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
学习目标
新课讲解
思考
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，
∵在△ADC和△ABC中， AD=AB，
AC=AC，
DC=BC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），∴ ∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上，
∴AE是这个角的平分线.
A
D
B
C
E
新课讲解
知识点1 作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
新课讲解
知识点1 作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.
（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.
新课讲解
知识点1 作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
新课讲解
思考
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
新课讲解
知识点2 角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；
（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.
几何表示：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
新课讲解
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴PD=PE.

新课讲解
证明几何命题的一般步骤.
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
新课讲解
例
1 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.
典例分析
需要先将命题改写成”如果……那么……“的形式，然后确定已知和求证.
新课讲解
已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.
证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AD交AD的延长线于点E，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE=CF.
新课讲解
练一练
填空：下列结论一定成立的是（ ）
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD┴OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.
O
B
A
C
P
D
图3
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
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③
新课讲解
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE
（OC不是∠AOB的平分线）.
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.
O
B
A
C
P
D
图3
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
┐
┐
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新课讲解
练一练
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD， DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC.
C
A
B
D
F
E
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┐
课堂小结
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质
应用
利用角平分线的性质解决实际问题
角平分线的做法
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
角平分线的性质
当堂小练
证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵ OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌ Rt△ODP（HL）.
∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD.
如图，OP为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ ）
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
B
当堂小练
解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC.
又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE.
∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm.
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB 的周长为（ ）
A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定
C
D
拓展与延伸
如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF.
布置作业
请完成对应习题