第六章 §2直观图-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（28张PPT）

§2　直观图
课标阐释
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(几何直观)
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.(几何直观)
3.能根据直观图还原出原图形并能进行相关的长度、面积等计算.(逻辑推理,数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
皮影戏,旧称“影子戏”或“灯影戏”,是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧.表演时,艺人们在白色幕布后面,一边操纵戏曲人物,一边用当地流行的曲调唱述故事,同时配以打击乐器和弦乐,具有浓厚的乡土气息.千百年来,这门古老的艺术,伴随着祖祖辈辈的人们,度过了许多欢乐的时光.那么皮影戏中的这个“影”是什么投影?画几何体的直观图与皮影戏中形成的“影”原理一样吗?
激趣诱思
知识点拨
斜二测画法
1.水平放置的平面图形直观图的画法
(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
(4)连线并擦去辅助线 x'轴和y'轴,便获得水平放置的直观图.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.(　　)
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.(　　)
(3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
(　　)
答案(1)×　(2)×　(3)×
激趣诱思
知识点拨
2.多面体的直观图的画法
(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.
(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的一半.
(5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.
激趣诱思
知识点拨
名师点析斜二测画法中的建系原则
在已知图形中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都可以,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'=　　　　　cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=　　　　　 cm.?
答案4　2
激趣诱思
知识点拨
微练习2
用斜二测画法画长、宽、高分别为2 cm、1.5 cm、1 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
激趣诱思
知识点拨
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=0.75 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
画水平放置的平面图形的直观图
例1如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
画法(1)如图,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.




(2)以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'= OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.
(3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 画水平放置的平面图形的直观图的技巧
1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.

解(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.
(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'= AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.
(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
画空间几何体的直观图
例2画出底面边长为1.2 cm的正方形、侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
画法(1)画轴.画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.
(2)画底面.以O'为中心在x'轴上截取线段EF,使EF=1.2 cm,在y'轴上截取线段GH,使GH=0.6 cm.
分别过E,F作y'轴的平行线,过G,H作x'轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图.
(3)画高.在z'轴上截取OP,使OP=1.5 cm.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②所示.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.画空间几何体的直观图时,一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤,画出其底面的直观图,再在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点,从而作出另一个底面的直观图,最后得到整个几何体的直观图.
2.对于台体、柱体等有上底面的几何体,在作上底面的直观图时,可先作出高线,在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系,最后作出表示相应等量的线段并连接.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.
画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,以O'为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
直观图的还原与计算
例3(1)在如图所示的直观图中,A'B'∥y'轴,B'C'∥A'D'∥x'轴,且B'C'≠A'D',则其对应的平面图形ABCD是(　　)
A.任意梯形
B.直角梯形
C.任意四边形
D.平行四边形
(2)已知等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积为 ,则等边三角形ABC的面积是　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析(1)由直观图的画法,可知原四边形ABCD为直角梯形.
(2)按照斜二测画法的规则,把如图①所示的等边三角形ABC的直观图△A'B'C'还原为如图②所示的等边三角形ABC,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.借助水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x'轴的线段的长度不变,而平行于y'轴的线段的长度变为原来的2倍,还原时要抓住关键点和关键线段.
2.平面多边形与其直观图面积间关系:一个平面多边形的面积为S原,斜二测画法得到直观图的面积为S直,则有S直=
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2如图是一个四边形的直观图,则其原图形的面积为　　　　　.?




解析由四边形的直观图可知,原四边形是直角梯形,其上、下底长分别为2,3,高为6,故其面积为 ×6=15.
答案15
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.(多选)关于斜二测画法所得直观图,以下说法不正确的是(　　)
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析由斜二测画法规则可知,等腰三角形的直观图不是等腰三角形,故A错误;正方形的直观图为平行四边形,故B正确;梯形的直观图依旧是梯形,故C错误;正三角形的直观图不是等腰三角形,故D错误.
答案ACD
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.下面每个选项的2个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)
解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论中,利用斜二测画法可得到的是　　　　　.(填序号)?
解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形.
答案①②
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.



水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　　.?
解析由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,则 ,所以AB边上的中线长为2.5.
答案2.5