第六章 6.1柱、锥、台的侧面展开与面积-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第二册课件29张PPT

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
课标阐释
1.通过对具体柱体、锥体、台体结构的分析,能探索出用展开的思想方法来研究其侧面积.(数学抽象)
2.理解柱体、锥体、台体的侧面积和表面积计算公式及其使用范围.(逻辑推理)
3.能运用柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式进行计算和解决有关实际问题.(数学运算、几何直观)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
金刚石是碳的结晶体,是目前自然界中存在的最硬物质,其形状除了具有规则的正八面体几何外形,还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色、璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石,如果已知正八面体的棱长,你有哪些思路能得出该几何体的表面积?这种几何体如何通过正方体切割出来?
激趣诱思
知识点拨
一、侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.
名师点析一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积.
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(　　)
(2)只有侧面是平面的几何体才能求其侧面积.(　　)
(3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.(　　)
答案(1)√　(2)×　(3)√
激趣诱思
知识点拨
二、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体
侧面展开图形状
展开图度量与几
何体度量的关系
侧面积公式
圆柱
?
矩形的一边长为母线长,另一边长是圆柱底面周长
S圆柱侧=2πrl
r:底面半径,
l:母线长
圆锥



?
扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长
S圆锥侧=πrl
r:底面半径,
l:母线长
激趣诱思
知识点拨
几何体
侧面展开图形状
展开图度量与几
何体度量的关系
侧面积公式
圆台
?






扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长
S圆台侧=π(r1+r2)l
r1,r2分别为圆台上、下底面半径,l为母线长
激趣诱思
知识点拨
名师点析圆柱、圆锥、圆台的结构特征比较
结构特征
圆柱
圆锥
圆台
底面
形状
两个底面是平行且半径相等的圆
只有一个底面,且底面是圆
两个底面是平行但半径不相等的圆
侧面展开
图形状
矩形
扇形
扇环
母线
平行且相等
相交于顶点
延长线交于一点
平行于底
面的截面
形状
是与两个底面平行且半径相等的圆
平行于底面且半径不相等的圆
是与两个底面平行且半径不相等的圆
轴截面
形状
矩形
等腰三角形
等腰梯形
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=πrl.
(　　)
(3)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(　　)
答案(1)×　(2)√　(3)√
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为(　　)
A.1∶2　　　　　B.1∶1
C.1∶4 D.1∶3
解析以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=2π×2×1=4π.
以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=2π×1×2=4π,故S1∶S2=1∶1.
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若一个圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,则圆柱的侧面积为(　　)
A.4πS B.2πS
答案A
激趣诱思
知识点拨
微练习3
若五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的表面积是30,侧面积是25,则两底面面积的和等于(　　)
A.5 B.25 C.30 D.55
解析S表=S侧+2S底,则2S底=S表-S侧=30-25=5.
答案A
激趣诱思
知识点拨
三、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加;对于正棱锥和正棱台,其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.
2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱.(　　)
(2)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧= ch'中c为底面周长,而h'为正棱锥的高.(　　)
答案(1)×　(2)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为　　　　　,表面积为　　　　　.?
激趣诱思
知识点拨
微思考
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有何联系?
提示
探究一
探究二
探究三
当堂检测
简单旋转体的侧面积与表面积
例1(1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是(　　)


(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(　　)
A.72 B.42π C.67π D.72π
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案(1)D　(2)C
反思感悟 旋转体侧面积和表面积的求解策略
(1)简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系.
(2)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面积的比为(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
简单多面体的侧面积与表面积
例2已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱锥的侧面积等于　　　　　 cm2.
解析如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.



答案32
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 求多面体的侧面积或表面积的技巧方法
(1)对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.
(2)对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加.
(3)注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
简单组合体的表面积
例3如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为　　　　　.?
解析由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积.故其表面积
S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2
=24-0.5π+2π=24+1.5π.
答案24+1.5π
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.求组合体的表面积的基本步骤
(1)弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;
(2)根据组合体的组成形式设计计算思路;
(3)根据公式计算求值.
2.求组合体的表面积的解题策略
(1)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响;
(2)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形几何体的表面积为　　　　　.?
解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2, ,1,所以S表=2×22+4×[22+( )2+12]=36.所以该几何体的表面积为36.
答案36
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.(2018全国Ⅰ,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)

解析过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以

答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析设长,宽,高分别为3x,2x,x,


所以表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
答案88
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若四棱锥S-ABCD为阳马,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA=BC=AB=2,则该阳马的表面积为　　　　　.