第六章 6.2柱、锥、台的体积-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第二册课件26张PPT

6.2　柱、锥、台的体积
课标阐释
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系.(逻辑推理)
2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积,并掌握求几何体体积的基本技巧.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
有一次,爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普顿,让他计算一下这只灯泡的容积是多少.阿普顿是普林斯顿大学数学系高才生,又在德国深造了一年,数学素养相当不错.他拿着这只梨形的灯泡,打量了好半天,又特地找来皮尺,上下量了尺寸,画出了各种示意图,还列出了一道又一道的算式.一个钟头过去了,爱迪生着急了,跑来问他算出来了没有.“正算到一半.”阿普顿慌忙回答,豆大的汗珠从他的额角上滚了下来.爱迪生十分诧异,走近一看,在阿普顿的面前,好几张白纸上写满了密密麻麻的算式.爱迪生微笑着说:“何必这么复杂呢?”阿普顿又重新调整思路,一会儿他飞快地跑进实验室,不到1分钟,没有经过任何运算,就把灯泡的容积准确地求出来了.大家能猜出阿普顿使用的巧妙方法吗?阿普顿的这种处理方法对大家有何帮助?
激趣诱思
知识点拨
柱体、锥体、台体的体积公式
名　　称
体积(V)公式
备　　注
柱体
棱柱
V=Sh
h为棱柱的高
S为棱柱的底面面积
圆柱
V=πr2h
=Sh
r为圆柱的底面半径
h为圆柱的高
S为圆柱的底面面积
锥体
棱锥
V= Sh
S为棱锥的底面面积
h为棱锥的高
圆锥

r为圆锥的底面半径
h为圆锥的高
S为圆锥的底面面积
激趣诱思
知识点拨
名称
体积(V)公式
备　　注
台体
棱台



S上,S下分别为棱台上、下底面的面积
h为棱台的高
圆台

r,r'分别为圆台上、下底面的半径
h为圆台的高,S上,S下分别为圆台上、下底面的面积
激趣诱思
知识点拨
名师点析在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式
V锥体= Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为:
由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围圆柱的底面半径是多少?所得圆柱体积是多少?
微思考2
求三棱锥的体积时有何技巧?
提示因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
激趣诱思
知识点拨
微思考3
台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求?
提示台体是由锥体用平行于底面的平面截得的空间几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下:
如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x,
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为　　　　　.?
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
柱体体积的计算
例1正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45°,则此三棱柱的体积为(　　)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.求柱体的体积关键是求其底面面积和高,底面面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进而求解.
2.一个几何体在空间中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以将其中的一个侧面放在水平面上,但在求其体积时,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为(　　)
A.2π B.4π C.8π D.16π
解析V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
锥体体积的计算
例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.



(1)求V1,V2以及V1∶V2;
(2)求点A到平面A1BD的距离d.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.锥体的体积公式V= Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.
2.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.
3.有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维模式和化归的数学思想.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.
解不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积
探究一
探究二
探究三
当堂检测
台体体积的计算
例3圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留π)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
设圆台的高为h,上底面半径r1=10 cm,下底面半径r2=20 cm,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知圆锥的母线长为8,底面圆的周长为6π,则它的体积是(　　)
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.如图,在正方体中,S为平面A,B,C,D上一点,则四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的(　　)
解析由于四棱锥S-ABCD的高与正方体的棱长相等,底面是正方形,根据柱体和锥体的体积公式,得四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的 ,故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降　　　　　cm.?
答案0.6