第六章 6.3球的表面积和体积-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第二册课件 21张PPT

6.3　球的表面积和体积
课标阐释
1.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.(数学运算)
2.会求解组合体的体积与表面积.(几何直观、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
牟合方盖是一种几何体,是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分,因为像是两个方形的盖子合在一起,所以被称作“牟合方盖”.它也是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式,他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误,虽然最终并没有实现,但是这个发现有着重要的意义.二百多年后,中国伟大数学家袓冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法,利用了“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出,充分体现了古人丰富的想象能力,以及为解决问题建立模型的智慧.刘徽是1 700多年前的人,祖氏父子是1 500多年前的人,以千年前的社会知识水平,思考这种问题,简直令人叹为观止,这种智慧的光芒,震古烁今.他们对数学问题的执着思考与纯粹探索的精神,是值得现代人学习的.以下图示就是推导球体积的模型,它借助了什么数学原理?
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
一、球的基本性质
1.球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
2.球的切线
(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这交点称为直线与球的切点.
(2)过球外一点的所有切线的切线长都相等,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.球的任意一个截面都是圆.
2.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即


3.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心.
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.(　　)
(2)球面上的任意三点确定一个平面.(　　)
答案(1)×　(2)√
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为　　　　　.?
解析因为AB=10,AC=6,BC=8,
所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在
小圆的直径.所以r=5.
轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122.所以
球心O到△ABC所在小圆的距离为12.
答案12
激趣诱思
知识点拨
二、球的表面积与体积公式





名师点析1.球不存在底面,球的表面不能展开成平面.
2.在求解球的半径时,通常利用球半径、截面圆半径及球心到截面圆的距离来构建直角三角形,将空间问题转化为平面问题.
条件
球的半径为R
表面积公式
S球面=4πR2
体积公式



激趣诱思
知识点拨
微练习1
直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A.36π,144π B.36π,36π
C.144π,36π D.144π,144π
解析球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V= π·33=36π.
答案B
微练习2
把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为(　　)
A.R B.2R C.3R D.4R
解析设圆柱的高为h,则πR2h=3× πR3,得h=4R.
答案D
探究一
探究二
当堂检测
球的表面积与体积
例1(1)已知球的表面积是16π,则该球的体积为　　　　　.?
(2)一个正方体的外接球、此正方体及正方体的内切球的表面积之比为　　　　　.?
解析(1)设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.所以球的半径为2,体积
(2)设正方体的棱长为2a,外接球半径为R,内切球半径为r,
则R= a,r=a.
所以外接球、正方体、内切球的表面积之比为S1∶S2∶S3=(4πR2)∶[6×(2a)2]∶(4πr2)
=[4π( a)2]∶(24a2)∶(4πa2)=12π∶24∶4π=3π∶6∶π.
答案(1) 　(2)3π∶6∶π
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 1.求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
2.半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
3.对于有关球的切接问题,先要认真分析条件,明确切点或接点的位置;然后正确抽象出其截面图,再分析相关元素间的数量关系进行求解.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练1(1)若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　)


(2)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为　　　　　.?
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
球的截面
例2在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.
反思感悟 1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)
探究一
探究二
当堂检测
解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.
如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm),


设球的半径为R cm,
则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,


答案A
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
答案B
探究一
探究二
当堂检测
2.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析设两球半径分别为R1,R2,且R1>R2,

所以R1-R2=2.
答案B
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的　　　　　倍,表面积变为原来的　　　　　倍.?
答案8　4