2.2.1双曲线及其标准方程

(共35张PPT)
一、回顾
1、椭圆的定义是什么？
2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
定义
图象
方程
焦点
a.b.c的关系
y
·
o
x
F1
F2
·
·
y
o
F1
F2
·
·
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
a2=b2+c2
F ( ±c,0) F(0, ± c)
o
F1
F2
·
·
·
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
双曲线
两条射线
1、 2a < |F1F2 |
2 、2a= |F1F2 |
3、2a> |F1F2 |
无轨迹
|MF1| - |MF2|= 2a
想一想？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差
等于常数 的点的轨迹叫做双曲线.
动画
的绝对值
（小于︱F1F2︱）
注意
定义:
| |MF1| - |MF2| | = 2a
1. 建系设点.
F
2
F
1
M
x
O
y
2. 写出适合条件的点M的集合；
3. 用坐标表示条件，列出方程；
4. 化简.
求曲线方程的步骤：
方程的推导
x
y
o
　　　设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
常数=2a
F1
F2
M
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a
_
　　　以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角
坐标系
1. 建系.
2.设点．
3.列式．
|MF1| - |MF2|= 2a
如何求这优美的曲线的方程？
4.化简.
o
F2
F
M
y
x
1
F1
F2
y
x
o
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
想一想
F1(0,-c), F2(0,c)
确定焦 点 位置：
椭圆看分母大小
双曲看系数正负
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
双曲线的标准方程
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
F(±5,0)
F(0,±5)
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。
答案：
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2） 是否表示双曲线？
表示焦点在 轴上的双曲线；
表示焦点在 轴上的双曲线。
表示双曲线，求 的范围。
答案： 。
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线
的标准方程.
∵　2a = 8,　c=5
∴　a = 4, c = 5
∴　b2 = 52-42 =9
所以所求双曲线的标准方程为：
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
解:
小结：求标准方程要做到先定型，后定量。
Ex1求适合下列条件的双曲线的标准方程。
①焦点在在轴 上， ；
②焦点在在轴 上，经过点 .
答案: ①
②
设双曲线的标准方程为
代入点 得
令
则
解得
故所求双曲线的标准方程为
2.已知A，B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：
爆炸点P的轨迹是靠近B处
的双曲线的一支。
A
B
P
假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B地远；
解：建立如图所示的直角坐标系 ，使 两点在 轴上，并且坐标原点 与线段 的中点重合。
设爆炸点 的坐标为 ，则 ，
即
又
所以
因为
所以
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
O
A
B
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
x2
a2
-
y2
b2
=
1
x2
y2
a2
+
b2
=1
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
y2
b2
=
1
椭 圆
双曲线
y2
x2
a2
-
b2
=
1
F（0，±c）
F（0，±c）
例3:求适合下列条件的双曲线的标准方程。
1、
焦点在 轴上
2、焦点为
且
3、
经过点
变式二:
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围和焦点坐标。
分析:
方程 表示双曲线时，则m的取值
范围_________________.
变式一:
课后思考题：
---(1)
---(2)
---(3)
(1)(2)(3)有什么内在 联系？
平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹
（2）可以利用电脑研究；
（3）可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究；
（4）合作探究、相互学习、相互交流。
建议：（1）可以进行理论研究；
例4 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3， ）、（9/4,5），求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程①.将P1, P2 坐标分别代入方程①中，得方程组
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程为：
例5 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.
解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使 A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
即2a=680,a=340.2c=800,c=400
b2=c2－a2=44400
所求双曲线的方程为：
(x>0).