人教A版高中数学必修五2.3等差数列前n项和性质和应用课件44张PPT

等差数列的前n项和
的性质及应用
等差数列的前n项和公式:
形式1:
形式2:
复习回顾
.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
则 Sn=An2+Bn
令
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1) 利用
：
由
(2)利用
:
当
>0，d<0，前n项和有最大值。可由
，求得n的值。
，求得n的值。
当
<0，d>0，前n项和有最小值。可由
利用二次函数配方法求得最值时n的值
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.
解:(1)由已知得
a1+2d=12
12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
等差数列{an}前n项和的性质
(2) ∵
∴Sn图象的对称轴为
由(1)知
由上得
即
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
∴Sn有最大值.
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（2）解法一：∵d<0,∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…,
而 ,
∴a7<0,
又∵
=6(a6+a7)>0,∴a6>0,
∴数列{an}的前6项的和S6最大.
等差数列{an}前n项和的性质
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
n2d
项数为奇数2n－1
性质2.1)项数为奇数2n－1,则(2)若项
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有: S偶－S奇= ,
an
若项数为偶数2n,
3.等差数列{an}前n项和的性质
性质2:
(2)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇= ,
nd
4.在项数为2n项的等差数列中，各奇数项的和 为75，偶数项的和为90，末项与首项的差为27，求n
两等差数列前n项和与通项的关系
性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
等差数列{an}前n项和的性质
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质2:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇= ,
n2d
nd
性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S奇－S偶= ,
两等差数列前n项和与通项的关系
性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
性质3: 为等差数列.
an



解一：设首项为a1,公差为d,则
例. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。
由
解二：
例5. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。

等差数列的性质应用：
例、已知一个等差数列的总项数为奇数，
且奇数项之和为77，偶数项之和为
66，求中间项及总项数。
解：由 中间项
得中间项为11
又由
得
等差数列的性质应用：
例9：已知等差数列 中，

求 的值。
解法1：
代入下式得：
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（2）解法一：∵d<0,∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…,
而 ,
∴a7<0,
又∵
=6(a6+a7)>0,∴a6>0,
∴数列{an}的前6项的和S6最大.
解法二：∵a1=12-2d,
∴ .
考查二次函数 ,∵d<0
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，∴当 时，y有最大值.
∵ ∴ .
∵n∈N*,∴当n=6时，Sn最大，即数列的前6项和最大.
解法三：∵a3=12,S12>0,S13<0，
∴公差d<0,
∴在数列{an}中必存在一项an，使an≥0,an+1＜0.
由
得 .
an=nd+a1-d≥0,
an+1=(n+1)d+a1-d<0,
a3=a1+2d=12,
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由(1)知： ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵n∈N*，
∴n=6,即a6>0,a7<0,
∴数列{an}的前6项的和最大.
【评析】本题给出了有关数列中最值问题的三种解答思路，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.
解法2：设
解法3：由已知
两式相减得
2.等差数列{an}前n项和的性质
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也成等差数列,公差为
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=
n2d
0
- (m+p)
性质4: 为等差数列.
等差数列的性质应用：
例9：已知等差数列 中，

求 的值。
解法1：
代入下式得：
解法2：设
解法3：由已知
两式相减得
1、已知{an}为等差数列,前10项的和为S10=100前100项的和S100=10,求前110项的和S110