(共28张PPT)
2.2
二次函数的图象与性质（3）
数学北师大版
九年级下
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
y=ax2
y=ax2+c
向上
向上
向下
向下
y轴
y轴
（0，0）
（0，c）
复习导入
复习导入
函数y＝2x2＋1的图象是由函数y＝2x2的图象
如何变换得到的？
向上平移一个单位
我们已经知道y=2x2的图象，那么二次函数y=2
(
x-1)2的图象与y=
2x2的图象有什么关系?
新知讲解
新知讲解
做一做
画二次函数y=2
(x-1)2的图象.
(1)完成下表:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2x2
2
(x-1)2
32
18
8
2
0
2
8
18
32
50
32
18
8
2
0
2
8
18
新知讲解
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系?
(2）在图2-5中，画出y=2
(x-1)2的图象.
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
y=2(x–1)2
y=2x2
图2-5
新知讲解
你是怎么画的？与同伴进行交流．
列表，描点，连线
新知讲解
议一议
二次函数
y=2（x-1）2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
y=2
(
x-1)2是由y=2x2的图象向右平移1个单位得到的。
开口方向是向上、对称轴为x=1,顶点坐标(1,0)
新知讲解
当
x
取哪些值时，y
的值随x值的增大而增大？
当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
类似地，你能发现二次函数y=2（x+1）2
的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗?
x>1
x<1
二次函数y=2（x+1）2是由y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.
二次函数y=2x2，y=2（x-1）2，y=2（x+1）2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将二次函数
y
=
2x2
的图象向右平移1个单位，就得到函数y=2（x
-
1）2的图象；将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位，就得到函数y=2（x+1）2的图象．
新知讲解
议一议
新知讲解
想一想
由二次函数
y
=
2x2的图象，你能得到二次函数
，y=2（x
+
3）2，
的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
二次函数
y
=
2x2的图象向下平移0.5个单位得到
二次函数
y
=
2x2的图象向左平移3个单位得到y=2（x
+
3）2
二次函数
y
=
2x2的图象先向左平移3个单位，
再向下平移0.5个单位得到
新知讲解
议一议
二次函数y=a（x
-
h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数
y=a（x
-
h）2+k的图象．因此，二次函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与
a，h，k
的值有关.
新知讲解
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=
a（x-h）2+k
直线
x
=
h
（h，k）
向上（a
>
0）
向下（a
<
0）
如下表所示：
图象特征
二次函数
新知讲解
变式1
将y=2x2的函数图象向右平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（
）
A.
y=2x2-2
B.y=2（x-2）2
C.y=（x+2）2
D.y=2x2+2
B
解析：左加右减，y=2x2
，向右平移2个单位后，y=2（x-2）2
新知讲解
变式2
函数y=2(x-1)2的图象是由y=2(x+1)2的图象经过___________________得到的．
向左平移2个单位
解：y=2(x-1)2的图象向左平移2个单位后，
得到y=2(x-1+2)2
→y=2(x+1)2
课堂练习
1、
y=-3(x-1)2的图象
（1）向左平移2个单位，写出平移后的解析式
（2）向右平移3个单位，写出平移后的解析式.
解析：（1）y=－3(x+1)2
，
（2）y=－3(x-4)2.
课堂练习
2、已知抛物线y=a（x
-
h）2的对称轴为x=-1，与y轴交于（0，4），求a和h的值.
解：由题意知
h=－1，所以
y=a（x+1）2，
把
x=0,y=4,代入得a=4
∴a=4，h=-1
课堂练习
3、将抛物线y=ax2向左平移2个单位后，经过点（-4，4），
求原抛物线的解析式.
课堂练习
解：由题意可设抛物线解析式为y=a(x+2)2
把x=4,y=4，代入得4=a(-4+2)2
即a=1，
所以原抛物线的解析式为y=(x+2)2
.
课堂练习
4、将抛物线
向左平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别交于A、B两点（点A在点B的左边），求三角形ABC的面积.
课堂练习
解：由题意，得平移后抛物线的解析式为
，
与y=x联立可得A（－8，－8）、B（－2，－2），
∴三角形ABC的面积为
×4×8－
×4×2=12．
拓展提高
5、二次函数y
=
a（x-h）2的图象如图：已知
，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．
拓展提高
解：由题意，得C（h，0），A（0，h），
∴
h2=h
，
∴h=2，0（不合题意，舍去），
∴
．
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（-h，k）
（-h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
课堂总结
板书设计
课题：2.2
二次函数的图象与性质
?
教师板演区
?
学生展示区
一、
二次函数y=a(x-h)2+k
的图象与性质
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P39练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P39练习第3、4题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学七年级上册2.2
二次函数的图象与性质（3）导学案
课题
2.2
二次函数的图象与性质（3）
单元
第2章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象.
2、让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，
理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系.
重点
难点
理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、将y=2x2的函数图象向右平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（
）
A.
y=2x2-2
B.y=2（x-2）2
C.y=（x+2）2
D.y=2x2+2
2、
抛物线的对称轴是直线，过点（1，-3），
（1）求解析式.
（2）求抛物线的顶点坐标.
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
合
作
探
究
探究一：
我们已经知道y=2x2的图象，那么二次函数y=2
(
x-1)2的图象与y=
2x2的图象有什么关系?
画二次函数y=2
(x-1)2的图象.
(1)完成下表:
x-4
-3-2-1012342x22(x-1)2
观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系?
在图2-5中，画出y=2
(x-1)2的图象.
图2-5
你是怎么画的？与同伴进行交流．
探究二：
二次函数
y=2（x-1）2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？
当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
类似地，你能发现二次函数y=2（x+1）2
的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗?
二次函数y=2x2，y=2（x-1）2，y=2（x+1）2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将二次函数
y
=
2x2
的图象向右平移1个单位，就得到函数y=2（x
-
1）2的图象；将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位，就得到函数y=2（x+1）2的图象．
探究三：
由二次函数
y
=
2x2的图象，你能得到二次函数，y=2（x
+
3）2，
的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流。
二次函数y=a（x
-
h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
当
堂
检
测
1、
y=-3(x-1)2的图象
（1）向左平移2个单位，写出平移后的解析式.
（2）向右平移3个单位，写出平移后的解析式.
2、
已知抛物线y=a（x
-
h）2的对称轴为x=-1，与y轴交于（0，4），求a和h的值.
3、将抛物线y=ax2向左平移2个单位后，经过点（-4，4），求原抛物线的解析式.
将抛物线向左平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别交于A、B两点（点A在点B的左边），求三角形ABC的面积.
5、二次函数y
=
a（x-h）2的图象如图：已知，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．
课
堂
小
结
参考答案
自主学习：
1.B；
2.⑴y=－(x+2)2
，⑵（－2，0），⑶x＜－2．
合作探究：
探究一：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2x2
32
18
8
2
0
2
8
18
32
2(x-1)2
50
32
18
8
2
0
2
8
18
列表，描点，连线
探究二：
y=2
(
x-1)2是由y=2x2的图象向右平移1个单位得到的。开口方向是向上、对称轴为x=1,顶点坐标(1,0)
x>1
x<1
二次函数y=2（x+1）2由y=2x2的图象向左平移1个单位得到的。
探究三：
二次函数
y
=
2x2的图象向下平移0.5个单位得到
二次函数
y
=
2x2的图象向左平移3个单位得到y=2（x
+
3）2
二次函数
y
=
2x2的图象先向左平移3个单位，
再向下平移0.5个单位得到
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数
y=a（x
-
h）2+k的图象．因此，二次函数y=a（x-h）2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与
a，h，k
的值有关.
当堂检测：
1、解：y=－3(x+1)2
，y=－3(x-4)2
2、解：由题意知
h=－1，所以
y=a（x+1）2，
把
x=0,y=4,代入得a=4
∴a=4，h=-1
3、解：由题意可设抛物线解析式为y=a(x+2)2
，
把x=4,y=4，代入得4=a(-4+2)2
，
即a=1，
所以原抛物线的解析式为y=(x+2)2
.
4、解：由题意，得平移后抛物线的解析式为，
与y=x联立可得A（－8，－8）、B（－2，－2），
∴三角形ABC的面积为×4×8－×4×2=12．
5、解：由题意，得C（h，0），A（0，h），
∴
h2=h
，
∴h=2，0（不合题意，舍去），
∴
．
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精品试卷·第
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